Document de cours de référence

78 6. Énergie et Travail
Quel est l’avantage de procéder de cette façon? Il est en général plus simple de calculer l’énergie
totale d’un système avec contrainte (la contrainte dans le cas du pendule est que la longueur de
la tige est constante) que de résoudre toutes les forces agissant sur le système, car on n’a alors
pas besoin de considérer la force de contrainte (la tension de la tige, dans le cas du pendule). En
fait, la formulation de la mécanique en fonction de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle est
l’objet de la mécanique de Lagrange et de la mécanique de Hamilton, étudiées dans les cours plus
avancés.
6.5 Énergie potentielle et stabilité
Pour les fins de la présente discussion, considérons une particule qui se déplace en une seule
dimension, décrite par une coordonnée x. Le champ de force est alors une simple fonction F (x) et
la force pointe vers la droite si F > 0, vers la gauche si F < 0. Le potentiel de cette force est une
fonction U(x) dont la dérivée est ainsi reliée à la force :
F (x) = − dU
dx
(6.46)
U(x )
instable
instable
stable
x 1 x 2 x 3
x
Figure 6.2. Points d’équilibres stable (x 2 ) et instable (x 1 et x 3 ) sur un graphique d’énergie potentielle
en une dimension. Les flèches sur l’axe indiquent la direction de la force dans chacune des régions.
On dit que le point x 0 est un point d’équilibre si la force est nulle à cet endroit : F (x 0 ) = 0;
autrement dit, si la dérivée du potentiel s’annule à x 0 . On qualifie l’équilibre de stable si, lorsqu’on
déplace la particule légèrement de x 0 , la force tend à la faire revenir vers x 0 . Cette condition est
remplie si la dérivée de la force est négative au point x 0 . En effet, en effectuant un développement
de Taylor de F (x) autour du point x 0 , on trouve
F (x) = F (x 0 ) + (x − x 0 )F ′ (x 0 ) + · · · (6.47)
Dans l’hypothèse que F (x 0 ) = 0 et F ′ (x 0 ) < 0, la force est négative (c.-à-d. vers la gauche) si
x > x 0 et positive (c.-à-d. vers la droite) si x < x 0 , ce qui correspond bien à la notion de stabilité.
Dans le cas contraire, si F ′ (x 0 ) > 0, la force a tendance à éloigner la particule de x 0 si cette
dernière en est légèrement déplacée : l’équilibre est qualifié d’instable. En fonction du potentiel U,
un point d’équilibre stable x 0 correspond aux conditions U ′ (x 0 ) = 0 et U ′′ (x 0 ) > 0, alors qu’un
point d’équilibre instable correspond aux conditions U ′ (x 0 ) = 0 et U ′′ (x 0 ) < 0. Le développement
de Taylor de l’énergie potentielle U(x) autour d’un point d’équilibre x 0 s’écrit
U(x) = U(x 0 ) + 1 2 U ′′ (x 0 )(x − x 0 ) 2 + · · ·