Document de cours de référence

6. Énergie et Travail 81
F(r)
r f
r i
r i
F(r ) 1
r 1
r 2
r f
rn F(r n)
r N —1
Figure 6.3. La définition générale du travail nécessite le remplacement d’un chemin C par un ensemble
de N segments linéaires et la prise de la limite N → ∞.
La démonstration est simple : comme F est la force totale et C la trajectoire réelle de la particule,
alors F = ma et on peut transformer l’intégrant de (6.53) de la manière suivante :
F · dr = ma · dr = m dv
dt
· dr = mdv · dr
dt = mdv · v = 1 2 md(v2 ) (6.57)
L’intégrant est donc une différentielle totale et
∫
W [C] = 1 2 m d(v 2 ) = 1 2 mv2 f − 1 2 mv2 i (6.58)
Le théorème est donc démontré.
C
Travail et forces non conservatives
D’après la définition (6.11), toute force qui dépend de la vitesse n’est pas conservative. C’est le cas
d’une force de résistance au mouvement, causée soit par la viscosité, la turbulence ou le frottement. 5
Décomposons maintenant la force totale F agissant sur une particule en une partie conservative
F c = −∇U et une partie non conservative F ′ :
F = −∇U + F ′ (6.59)
Le travail W peut aussi être décomposé en deux termes : W = W c + W ′ . Calculons maintenant la
contribution W c de la force conservative au travail :
∫
∫
∫
W c = F c · dr = − ∇U · dr = − dU = −U f + U i (6.60)
Le théorème travail-énergie s’exprime donc comme suit :
C
C
C
W ′ − U f + U i = K f − K i =⇒ W ′ = E f − E i (6.61)
Autrement dit, le travail des forces non conservatives est égal au gain d’énergie totale de la particule.
Maintenant, les forces non conservatives peuvent être divisées en deux types : (i) les forces dites
dissipatives, qui s’opposent au mouvement, comme celles causées par la viscosité, la turbulence et le
5 Dans ce dernier cas, la force ne dépend apparemment pas de la vitesse, mais ce jugement est hâtif : la force
de frottement ne dépend peut-être pas beaucoup de la grandeur de la vitesse, mais elle dépend de la direction
de la vitesse, car elle s’oppose toujours au mouvement.