Document de cours de référence

9. Moment cinétique et rotation des corps 143
Comme v i = ω ∧ r i , la grandeur de v i est v i = ωρ i et donc
∑
K rot. = 1 2
m i ω 2 ρ 2 i = 1 2 Iω2 , (9.49)
i
le résultat recherché. Vu que J z = Iω, on peut aussi écrire cette relation comme K rot. = J 2 z /(2I).
Plus généralement, nous allons maintenant montrer que l’énergie de rotation d’un objet rigide libre
de tourner dans toutes les directions est donnée par la relation
K rot. = 1 2 J · ω (9.50)
Pour ce faire, calculons le produit scalaire du moment cinétique J i d’une particule de l’objet avec
ω:
J i · ω = m i (r i ∧ v i ) · ω
= m i (ω ∧ r i ) · v i
= m i v 2 i (v i = ω ∧ r i )
(9.51)
Nous avons utilisé ici la propriété cyclique (1.16) du produit triple et la relation v i = ω ∧ r i . Donc,
l’énergie cinétique de rotation de l’objet peut s’écrire
∑ ∑
K rot. = 1 2
m i vi 2 = 1 2
J i · ω , (9.52)
i
ce qui revient à la relation (9.50). Bien sûr, la relation (9.47) en est un cas particulier, applicable
lorsque l’axe de rotation est fixe dans la direction z.
Dans le cas d’un objet qui se déplace en même temps qu’il tourne autour de son centre de masse,
comme par exemple un objet balancé qui roule sur un plan, l’énergie de rotation coîncide avec
l’énergie interne qui figure dans le théorème de Koenig. L’énergie cinétique comporte alors deux
terme : l’un associée au mouvement du centre de masse (énergie cinétique de translation) et l’autre
qu’on calcule par rapport au centre de masse : l’énergie cinétique de rotation.
i
y
x
M
R
θ
Figure 9.4. Sphère en roulement sur un plan incliné.
Exemple : objet sur un plan incliné
Appliquons la relation (9.47) à l’étude du mouvement d’un objet circulaire (une sphère, un cylindre
ou un anneau) en roulement sur un plan incliné, tel qu’illustré sur la figure 9.4. Si l’objet roule sans
glisser, sa vitesse de translation et sa vitesse angulaire de rotation sont reliées par la contrainte
v = ωR. L’énergie cinétique de l’objet, d’après le théorème de Koenig, est la somme de l’énergie
cinétique du centre de masse (l’énergie cinétique de tranlation 1 2 mv2 ) et de l’énergie cinétique par