Document de cours de référence

76 6. Énergie et Travail
l’approximation sphérique, exercent mutuellement des forces gravitationnelles identiques à celles
qu’exerceraient des points mathématiques.
Potentiel gravitationnel à la surface de la Terre
Supposons maintenant que la Terre est parfaitement sphérique et considérons l’énergie potentielle
gravitationnelle à la surface de la Terre. Si R ⊕ est le rayon terrestre, h la hauteur d’un objet
au-dessus du niveau du sol et si h ≪ R ⊕ , alors l’énergie potentielle admet un développement de
Taylor qu’on peut facilement tronquer au premier ordre :
U(h) = − GMm
R ⊕ + h
= − GMm 1
R ⊕ 1 + h/R ⊕
= − GMm (
1 − h )
+ · · ·
R ⊕ R ⊕
≈ − GMm
R ⊕
+ GMm
R⊕
2 h
(6.39)
Le premier terme est une constante sans importance. Le deuxième n’est autre que mgh, où
g = GM/R⊕ 2 est l’accélération gravitationnelle à la surface de la Terre. On retrouve donc cette
expression familière comme un cas approximatif de l’expression (6.21).
Énergie potentielle gravitationnelle et centre de masse
Considérons un objet macroscopique sous l’influence d’un champ gravitationnel uniforme g = −gẑ
à la surface de la Terre. L’énergie potentielle gravitationnelle de chaque particule formant l’objet
est m i gz i , où z i est la coordonnée verticale de la i me particule par rapport à une certaine référence.
L’énergie potentielle totale de l’objet dans ce champ gravitationnel est alors la somme des énergies
potentielles de chaque particule formant l’objet, à savoir
U = ∑ i
m i gz i = g ∑ i
m i z i = M tot. gZ cm (6.40)
où Z cm est la composante en z de la position du centre de masse R cm . Donc, en ce qui regarde
l’énergie potentielle dans le champ de pesanteur terrestre, on peut considérer que la masse d’un
objet est concentrée en son centre de masse. Cependant, ceci n’est vrai que si le champ gravitationnel
est uniforme. Si les dimensions de l’objet sont si grandes que le champ gravitationnel varie
de manière appréciable le long de l’objet, alors ce résultat n’est pas applicable.
6.4 Mouvement à un degré de liberté
L’une des notions les plus importantes de la mécanique, surtout dans ses formulations plus avancées,
est celle de degré de liberté. On dit qu’un système mécanique possède N degrés de liberté si
N variables (ou “coordonnées”) sont nécessaires pour spécifier complètement la configuration du
système. Par exemple, une particule libre de se déplacer en trois dimension possède trois degrés
de liberté, car trois variables (x, y, z) sont requises pour en spécifier la position. Un système de M
particules possède 3M degrés de liberté, car 3 coordonnées par particules sont requises. L’imposition
de contraintes mécaniques peut diminuer le nombre de degrés de liberté. Par exemple, deux masses
reliées par une tige rigide possèdent 5 degrés de liberté : la contrainte de distance fixe entre les
particules a éliminé l’un des 6 degrés de liberté des deux particules. Trois des cinq degrés de liberté