Document de cours de référence

204 11. Relativité restreinte
Donc le travail, sur un chemin quelconque, est
W = E f − E i où E =
Ceci confirme l’expression (11.81) de l’énergie d’une particule.
Force et accélération
La relation entre la force appliquée est la quantité de mouvement est
mc 2
√
1 − v2 /c 2 (11.92)
F = dp
dt = d mv
√ (11.93)
dt 1 − v2 /c 2
C’est cette relation qui remplace F = ma dans la dynamique relativiste.
Si on calcule explicitement la dérivée temporelle dans (11.93), on trouve
F =
ma mv(a · v)/c2
√ + (11.94)
1 − v2 /c2 (1 − v 2 /c 2 ) 3/2
Dans le cas où la vitesse est parallèle à l’accélération, v(a · v) = av 2 et on obtient
ma
v
F = √
{1 2 /c 2 }
+
1 − v2 /c 2 (1 − v 2 /c 2 )
= maγ 3 (a‖v)
Par contre, si la vitesse est perpendiculaire à l’accélération, alors v · a = 0 et on obtient
(11.95)
F = maγ (a⊥v) (11.96)
Les facteurs γ et γ 3 font qu’il est beaucoup plus difficile d’accélérer un objet (avec une force donnée)
quand sa vitesse s’approche de c. On apprend ici que ceci est encore plus vrai si a‖v que si a⊥v.
Fréquence cyclotron relativiste
Considérons comme exemple le mouvement d’une particule de charge q et de masse m dans un
champ magnétique uniforme B = Bẑ. En relativité, la force magnétique est encore donnée par la
formule F = qv∧B. Donc, la dérivée dp/dt est perpendiculaire à v, c’est-à-dire à p, et sa grandeur
|p| est donc constante, ainsi que la grandeur de v. Donc l’accélération est toujours perpendiculaire
à la vitesse et la particule a une trajectoire en hélice, comme dans le cas non relativiste. Cependant,
la fréquence ω c de ce mouvement en hélice n’est plus donnée par qB/m. En effet,
dp
dt
= maγ = qv ∧ B (11.97)
Étant donné que γ est constant (car v est constant), on peut le regrouper avec la masse m quand
on résoud l’équation différentielle et on obtient une fréquence cyclotron qui dépend maintenant de
la vitesse :
ω c = qB
mγ = qB √
1 − v2 /c
m
2 (11.98)
C’est en raison de cette dépendance en vitesse que le schéma simplifié du cyclotron ne fonctionne
plus quand la vitesse de la particule se rapproche trop de c. Notons cependant la relation entre le
rayon R de la trajectoire et l’impulsion :
R = v/ω c = mvγ
qB
= |p|
qB
(11.99)