Document de cours de référence

192 11. Relativité restreinte
où L = x 2 − x 1 est la longueur de l’objet telle que mesurée dans le référentiel S; elle est donc plus
petite que L 0 :
L = L 0
γ = L √
0 1 − V 2
/c 2 (11.37)
Notons que les deux mesures de position, qui sont simultanées dans S, ne le sont pas dans S ′ , car
t ′ 2 ≠ t′ 1 .
Il faut remarquer ici que si on pouvait ‘photographier’ un objet en mouvement très rapide, il
n’apparaîtrait pas contracté: il faut bien distinguer la ‘longueur de l’objet dans le référentiel S’,
qui est une propriété de l’objet et du référentiel d’observation, de son ‘apparence visuelle’, qui est
un phénomène plus complexe puisqu’il nécessite l’émission de lumière par l’objet et la réception de
cette lumière par un observateur après un certain temps de transit. En fait, un objet en mouvement
rapide apparaîtrait ‘tourné’ par rapport à l’objet au repos, et non contracté. De plus, en raison de
l’effet Doppler, ses couleurs seraient modifiées selon qu’il s’approche ou s’éloigne de l’observateur. 3
11.7 Dilatation du temps
Une autre conséquence notoire de la relativité est qu’une horloge en mouvement retarde par rapport
à une horloge au repos. Pour démontrer cette assertion, utilisons encore une fois la transformation
de Lorentz (11.20). Considérons une horloge au repos dans le référentiel S ′ (à une position x ′ ) qui
produits des ‘tics’ à un intervalle régulier. Cet intervalle est la période T 0 de l’horloge au repos. Dans
le référentiel S, l’horloge se déplace à une vitesse V = V ˆx. Soit (x 1 , t 1 ) et (x 2 , t 2 ) les coordonnées
associées à deux ‘tics’ successifs de l’horloge. En utilisant la transformation de Lorentz inverse
(11.21), on trouve
(x 1 , t 1 ) = γ(x ′ + V t ′ 1 , t′ 1 + V x′ /c 2 ) (x 2 , t 2 ) = γ(x ′ + V t ′ 2 , t′ 2 + V x′ /c 2 ) (11.38)
La période T de l’horloge dans S est la différence entre les temps des deux tics successifs :
T = t 2 − t 1 = γ(t ′ 2 + V x ′ /c 2 − t ′ 1 − V x ′ /c 2 ) = γ(t ′ 2 − t ′ 1) = γT 0 (11.39)
La période T est donc plus longue que la période au repos; il y a ‘dilatation du temps’:
T = γT 0 =
T 0
√
1 − V
2
/c 2 (11.40)
Désintégration des muons
Le muon (µ) est un particule élémentaire instable de masse m µ =105,7 MeV et de temps de vie
τ µ = 2, 197 × 10 −6 s. On détecte une grande quantité de muons au niveau du sol. Ces muons
sont créés dans la haute atmosphère quand des rayons cosmiques (par exemple des protons ou des
photons) entrent en collision avec les noyaux des molécules de l’atmosphère. Lors de ces collisions,
des mésons π (ou pions) sont créés. Ces mésons ont un temps de vie τ π = 2, 6 × 10 −8 s et se
désintègrent en muons. D’autre part, les muons se désintègrent en électrons et en neutrinos :
π − → µ − + ¯ν µ + 34 MeV
τ π = 2, 6 × 10 −8 s
µ − → e − + ¯ν e + ν µ + 105, 2 MeV τ µ = 2, 197 × 10 −6 s
3 Cette question est expliquée de manière simple par V. Weisskopf dans Physics Today (sept. 1960) p.24.
Weisskopf se base sur un article plus détaillé de J. Terell, Phys. Rev. 116 (1959) 1041.