Document de cours de référence

98 7. Applications de la conservation de la quantité de mouvement
Si la particule 1 est plus massive que la particule 2, l’angle de diffusion θ 1 atteint sa valeur maximale
θ1 max. pour une certaine valeur θ 0 de θ (cf. Fig. 7.4). La position exacte de ce maximum s’obtient
par différentiation :
0 = d dθ tan θ 1∣ = 1 + m 1
m cos θ
2
0
(
θ=θ0
cos θ 0 + m ) 2
=⇒ cos θ 0 = − m 2
(7.19)
1
m 1
m 2
et ensuite
ce qui revient à dire
tan θ max.
1 =
sin θ 0
cos θ 0 + m = − cos θ 0
=
1 sin θ
m 0 2
1
√ (m1
m 2
) 2
− 1
(7.20)
sin θ max.
1 = m 2
m 1
= − cos θ 0 (7.21)
Si, au contraire, la particule 1 est plus légère que la particule 2, alors le dénominateur de l’expression
(7.18) devient négatif si −1 < cos θ < −m 1 /m 2 . Dans ces circonstances, tan θ 1 est aussi négatif et
donc 1 2 π < θ 1 < π. Dans la limite où θ = π, tan θ 1 → 0− et θ 1 = π. l’angle de diffusion maximum
θ max.
1 est donc égal à π (cf. Fig. 7.4).
Cas de masses égales
Dans le cas limite où m 1 = m 2 , on a
Or, il se trouve que
tan θ 1 =
sin θ
cos θ + 1
sin θ
cos θ + 1 = tan θ 2
(m 1 = m 2 ) (7.22)
(cette formule se démontre aisément en appliquant les formules d’angles doubles : sin θ =
2 sin(θ/2) cos(θ/2) et cos θ = cos 2 (θ/2) − sin 2 (θ/2)). La relation entre θ et θ 1 est donc particulièrement
simple dans ce cas :
θ 1 = θ 2
(−π < θ < π) (7.23)
L’angle de diffusion maximum est obtenu quand θ = π, qui correspond à θ max.
1 = π/2.
Ceci est applicable au cas de deux boules de billard, si on néglige les effets du tapis et de rotation
des boules – ce qu’un vrai joueur de billard ne saurait faire. On ne peut pas faire ‘rebondir’ une
boule sur une autre. Le mieux qu’on puisse espérer est que la boule projetée sur l’autre émerge
à un angle θ 1 proche de π/2. Dans ce cas, sa vitesse est assez faible (elle tend vers zéro quand
θ 1 → π/2).
On démontre par ailleurs sans difficulté que les vitesses v 1 ′ et v′ 2 sont perpendiculaires entre elles
dans le cas de deux objets de masses identiques (m 1 = m 2 = m) et d’une collision élastique. La
preuve est très simple : écrivons pour ce cas les lois de conservation de la quantité de mouvement
et de l’énergie cinétique :
mv 1 = mv ′ 1 + mv′ 2 et
1
2 mv2 1 = 1 2 m(v′ 1 )2 + 1 2 m(v′ 2 )2 (7.24)