Document de cours de référence

208 11. Relativité restreinte
Problème 11.1
Démontrez que l’application successive de deux transformations de Lorentz de rapidités η 1 et η 2 (dans la
même direction) est équivalente à une transformation de Lorentz de rapidité η 3 = η 1 + η 2 .
Problème 11.2
Un faisceau lumineux est émis avec un angle θ 0 par rapport à l’axe des x ′ dans le référentiel S ′ qui se déplace
à une vitesse vˆx par rapport au référentiel S. Montrez que l’angle θ du faisceau par rapport à l’axe des x dans
S est donné par
cos θ = cos θ 0 + β
1 + β cos θ 0
(β ≡ v/c)
Problème 11.3
Considérons une source lumineuse qui, lors d’une brève explosion, émet de manière isotrope, c’est-à-dire qu’une
quantité égale de lumière est émise dans toutes les directions, dans le référentiel de la source. Supposons
maintenant qu’on observe cette source à partir d’un référentiel se déplaçant à une vitesse v vers la gauche
par rapport à la source (la source se déplace donc à une vitesse vˆx vers la droite par rapport au référentiel
de l’observateur). Soit θ l’angle entre une direction dans l’espace et l’axe des x.
a) Trouvez la proportion de lumière émise (du point de vue de l’observateur) entre l’angle θ et θ + dθ. Note :
chaque angle θ définit un certain cône et cette question réfère donc à la lumière émise entre deux cônes.
b) À quelle vitesse doit se déplacer la source pour que la moitié de la lumière soit émise dans un cône soustendant
un angle de 10 −3 radians? Cet effet est observé dans les accélérateurs de particules : le rayonnement
émis par une particule accélérée est fortement confiné à un cône étroit dans la direction de la vitesse de la
particule, comme si elle était munie de “phares”. . .
Problème 11.4
L’une des raies spectrales les plus intense de l’hydrogène est notée H α et sa longueur d’onde est 656,1 nm. On
peut détecter cette raie dans la lumière solaire. Si on se concentre sur des points situés sur l’équateur solaire,
aux extrémités gauche et droite du disque solaire, on trouve une différence de longueur d’onde de 9 × 10 −12 m.
En supposant que cette différence est causée par l’effet Doppler, estimez la période de rotation du Soleil sur
lui-même. Le diamètre du Soleil est 1,4×10 9 m.
Problème 11.5
Après le paradoxe des jumeaux, voici celui du sauteur à la perche et de la grange. Un sauteur à la perche
court à une vitesse v proche de celle de la lumière en tenant sa perche de longueur L bien horizontale. Il entre
dans une grange ouverte au deux bouts, elle aussi de longueur L. Le fermier qui l’observe se dit : “puisque la
perche est contractée d’un facteur √ 1 − v 2 /c 2 en raison de sa vitesse, elle va pouvoir entrer tout entière dans
la grange à un moment donné”. Le coureur, au contraire, se dit : “La grange se dirige vers moi à une vitesse
v; elle est donc contractée d’un facteur √ 1 − v 2 /c 2 et la perche ne pourra entrer tout entière dans la grange
à aucun moment”. Lequel des deux a raison? Expliquez.