Document de cours de référence

94 7. Applications de la conservation de la quantité de mouvement
Dans la première façon, on applique les lois de conservation de la quantité de mouvement et de
l’énergie :
m 1 v 1 = m 1 v 1 ′ + m 2 v′ 1
2 et
2 m 1 v2 1 = 1 2 m 1 v′2 1 + 1 2 m 2 v′2 2 (7.1)
Il s’agit de deux équations, pour deux inconnues (v 1 ′ et v′ 2 ). On élimine v′ 2 à l’aide de la première
équation, pour obtenir
(
1
2 m 1 v2 1 = 1 2 m 1 v 1 ′2 + m )
1
(v
m 1 − v 1 ′ )2 (7.2)
2
Il s’agit d’une équation quadratique pour v 1 ′ qui peut être résolue par la formule standard. On peut
la récrire comme suit :
(v ′ 1) 2 (m 1 + m 2 ) − 2m 1 v 1 v ′ 1 + (m 1 − m 2 )v 2 1 = 0 (7.3)
La formule de solution de l’équation quadratique nous donne
(
)
v 1 ′ 1
=
m
m 1 + m 1 v 1 ± v 1
√m 2 1 − (m 1 + m 2 )(m 1 − m 2 )
2
= m 1 ± m 2
m 1 + m 2
v 1
(7.4)
Le signe supérieur donne v ′ 1 = v 1 , ce qui correspond à l’absence de collision. Le signe inférieur
donne plutôt
v ′ 1 = m 1 − m 2
m 1 + m 2
v 1 et v ′ 2 = 2m 1
m 1 + m 2
v 1 (7.5)
(nous avons utilisé la première des Éqs (7.1) pour exprimer v′ 2 en fonction de notre solution pour
v 1 ′ ). Notons que le discriminant de l’équation quadratique est un carré parfait, ce qui laisse penser
que cette solution n’est pas la plus simple qu’on aurait pu trouver.
Expliquons maintenant la deuxième façon, plus pratique (surtout quand on étudie le même
problème en deux dimensions). Le centre de masse du système des deux objets se déplace à vitesse
constante avant, pendant et après la collision, car aucune force externe n’agit sur le système. On
peut donc se déplacer dans le référentiel du centre de masse, car ce référentiel est inertiel et les lois
de conservation y sont tout aussi valables que dans le référentiel du laboratoire. Dans le cas qui
nous occupe, la vitesse du centre de masse (3.3) se calcule d’après les données d’avant la collision,
V cm = m 1 v 1
m 1 + m 2
= m 1 v 1
m 1 + m 2
ˆx (7.6)
La relation entre la vitesse v d’une particule dans le référentiel du laboratoire et la vitesse u de la
même particule dans le référentiel du centre de masse est donnée par la transformation de Galilée
(2.33) :
u = v − V (ici V = V cm ) (7.7)
En ne considérant que les composantes en x, on a
u 1 = v 1 − V
u 2 = v 2 − V
u ′ 1 = v 1 ′ − V
u ′ 2 = v 2 ′ − V
où V = m 1v 1
m 1 + m 2
(7.8)