Document de cours de référence

52 5. Applications des lois du mouvement
Utilisons maintenant l’expression (2.30) de l’accélération en coordonnées cylindriques, que nous
répétons ici :
¨r = (¨ρ − ρ ˙ϕ 2 ) ˆρ + (ρ ¨ϕ + 2 ˙ρ ˙ϕ) ˆϕ (5.11)
Dans le cas qui nous occupe, ρ est une constante égale à l et l’accélération se réduit à
¨r = l(− ˙ϕ 2 ˆρ + ¨ϕ ˆϕ) (5.12)
Les forces en présence se décomposent comme suit dans le repère local :
F = −F ˆρ mg = mg(cos ϕ ˆρ − sin ϕ ˆϕ) (5.13)
La deuxième loi de Newton s’exprime donc comme suit en coordonnée cylindriques :
ou, en composantes,
ml(− ˙ϕ 2 ˆρ + ¨ϕ ˆϕ) = −F ˆρ + mg(cos ϕ ˆρ − sin ϕ ˆϕ) (5.14)
−ml ˙ϕ 2 = −F (ϕ) + mg cos ϕ
ml ¨ϕ = −mg sin ϕ
(5.15)
Insistons sur le fait que la tension F (ϕ) dépend de l’angle que fait le pendule avec la verticale.
La première des deux équations ci-haut n’est donc pas immédiatement utile. La deuxième de ces
équations peut s’écrire comme suit :
¨ϕ + ω 2 sin ϕ = 0
√ g
ω ≡
l
(5.16)
Une fois connue la solution de cette équation différentielle, la première des équations (5.15) nous
fournit la valeur de F en fonction du temps.
Approximation des petits angles
Au lieu de s’attaquer directement à l’Éq. (5.16), faisons l’approximation que le pendule ne s’écarte
jamais beaucoup de la verticale, de sorte que l’angle ϕ (en radians) est suffisamment petit pour
faire l’approximation sin ϕ ≈ ϕ. Dans ce cas, l’Éq. (5.16) devient
¨ϕ + ω 2 ϕ = 0 (5.17)
Cette équation différentielle linéaire du second ordre possède comme solution générale une fonction
circulaire :
ϕ(t) = A sin(ωt + ξ) (5.18)
où ξ et A sont déterminés par les conditions initiales. Cette solution peut aussi s’écrire
ϕ(t) = B sin ωt + C cos ωt (5.19)
où B = A cos ξ et C = A sin ξ. En supposant que ϕ(0) = 0 et que la valeur maximale de ϕ soit ϕ 0
(l’amplitude de l’oscillation), alors la solution recherchée est
ϕ(t) = ϕ 0 sin ωt (5.20)
Cette solution décrit une oscillation harmonique (c’est-à-dire sinusoïdale) du pendule, avec une
fréquence angulaire ω, correspondant à une période
√
T = 2π ω = 2π l
(5.21)
g
La période d’oscillation du pendule est donc indépendante de l’amplitude ϕ 0 de l’oscillation, comme
l’a remarqué en premier Galilée au début du XVIIe siècle.