Document de cours de référence

9. Moment cinétique et rotation des corps 145
Mais, si l’objet est en rotation avec un vecteur vitesse angulaire ω, on peut décrire la différentielle
de déplacement comme
dr i = v i dt = ω ∧ r i dt (9.60)
Donc
dU = − ∑ i
F i · (ω ∧ r i )dt = − ∑ i
ω · (r i ∧ F i )dt = −ω · Ndt (9.61)
où N est le couple total appliqué en vertu des forces qui découlent de cette énergie potentielle.
Comme ω = ωẑ et que ωdt = dϕ par définition, on trouve bien dU = −N z dϕ, comme annoncé.
C.Q.F.D.
Comme exemple, considérons un pendule simple, comme illustré en page 51. L’énergie potentielle
est U = −mgl cos ϕ. La composante en z du couple est alors
N z = − ∂U
∂ϕ
Par contre, la composante correspondante du moment cinétique est
Donc, la relation N z = ˙ J z mène à l’équation suivante :
ce qui est bien l’équation du pendule (5.16).
9.7 Le pendule réel
= −mgl sin ϕ (9.62)
J z = I ˙ϕ = ml 2 ˙ϕ (9.63)
ml 2 ¨ϕ = −mgl sin ϕ =⇒ ¨ϕ + g sin ϕ = 0 (9.64)
l
Considérons ici un pendule réel – par opposition à un pendule simple – c’est-à-dire un objet de
masse M libre de pivoter par rapport à un point, mais dont la masse n’est pas concentrée en un
seul point, mais répartie de manière quelconque, avec un moment d’inertie I 0 par rapport à son
centre de masse et une distance l entre le centre de masse et le pivot (cf. Fig. 9.5).
D’après la relation (9.16), le couple N produit par la gravité sur l’objet est
N = MR cm ∧ g (9.65)
La grandeur de ce couple, par rapport au pivot, est donc N z = −Mgl sin θ, où θ est l’angle
d’inclinaison entre la verticale et la position du centre de masse par rapport au pivot.
Supposons que l’axe du pivot est l’axe ẑ. La composante J z du moment cinétique évalué au pivot
est
J z = I ˙θ I = I 0 + Ml 2 (9.66)
L’équation du mouvement pour l’angle θ est donc
N z = ˙ J z =⇒ I ¨θ = −Mgl sin θ (9.67)
Encore une fois, il est possible de résoudre facilement cette équation différentielle si l’angle
d’inclinaison θ est petit, de sorte que sin θ ≈ θ:
¨θ + Mgl θ = 0 (9.68)
I