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7. Applications de la conservation de la quantité de mouvement 97
À partir de ces équations on trouve une expression explicite pour les vitesses u 1 et u 2 :
u 1 =
m 2
m 1 + m 2
v 1 u 2 = − m 1
m 1 + m 2
v 1 (7.14)
Appliquons maintenant les lois de conservation. Avant et après la collision, l’impulsion totale est
nulle dans le repère du centre de masse :
m 1 u 1 + m 2 u 2 = 0 = m 1 u ′ 1 + m 2 u′ 2 (7.15)
Les deux particules s’éloignent donc du lieu de la collision dans des directions exactement opposées,
faisant un angle θ avec la direction initiale des vitesses (cf. Fig.7.3). Comme dans le cas unidimensionnel,
on conclut de la conservation de l’énergie que les grandeurs des vitesses sont les mêmes
après et avant la collision et que seules les directions changent : u 1 = u ′ 1 et u 2 = u′ 2 .
On peut ensuite trouver la relation entre l’angle de diffusion θ dans le référentiel S ′ et l’angle de
diffusion θ 1 dans le repère S:
tan θ 1 = v′ 1y
v ′ 1x
= u′ 1y
u ′ 1x + V =
u′ 1 sin θ
u ′ 1 cos θ + V =
u 1 sin θ
u 1 cos θ + V
(7.16)
Nous avons utilisé dans ces égalités les composantes x et y des Éqs (7.13). Comme
(
u 1 = v 1 − V = 1 −
)
m 1
v
m 1 + m 1 =
2
m 2
m 1 + m 2
v 1 (7.17)
on trouve finalement
tan θ 1 =
sin θ
cos θ + m (7.18)
1
m 2
π
θ 1
0.8 π
0.6 π
R =0,1
R =0,9
0.4 π
R =1,1
R =1
0.2 π
0
R =2
R =10
0.2 π 0.4 π 0.6 π 0.8 π π
θ
Figure 7.4. Angle de diffusion θ 1 dans le référentiel du laboratoire en fonction de l’angle de diffusion
θ dans le référentiel du centre de masse. On montre la dépendance pour cinq valeurs différentes du
rapport R = m 1 /m 2 .On note qu’il existe un angle θ 1 maximum si R > 1.