Document de cours de référence

124 8. Mouvement dans un champ de force central
Tableau 8.1 Paramètres orbitaux de quelques objets du système solaire. Description des variables : m :
masse de l’objet; a : demi grand axe; T : période de l’orbite; e : excentricité; i : inclinaison du plan de l’orbite
par rapport au plan de l’orbite terrestre. Notons que u.a. signifie “unité astronomique” (demi grand axe de
l’orbite terrestre). Ces renseignements (et plusieurs autres) peuvent être obtenus à l’adresse suivante :
http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/planetfact.html
Objet m (10 24 kg) a (10 6 km) T (jours) e i (degrés)
Terre 5,9736 149,6 365,256 0,0167 0 (déf.)
Lune 0,07349 0,3844 27,322 0,0549 5,145
Mercure 0,3302 57,9 87,969 0,2056 7,00
Venus 4,869 108,2 224,701 0,0068 3,4
Mars 0,6419 227,9 686,98 0,0934 1,85
Jupiter 1 898,6 778,3 4 332,589 0,0484 1,305
Saturne 568,46 1 427,0 10 759,22 0,05565 2,489
Uranus 86,83 2 869,6 30 685,4 0,04724 0,773
Neptune 102,43 4 496,6 60 189 0,00858 1,773
Pluton 0,0125 5 913,5 90 465 0,2482 17,15
Comète de Halley 17,94 u.a. 76,1 ans 0,967 162,2
Comète Kohoutek 1,571 u.a. 6,24 ans 0,537 5,4
(ou péricentre) de l’orbite est appelé argument du périhélie. L’angle ϕ entre la position réelle de
l’objet et le rayon vecteur du périhélie est l’anomalie vraie. Il faut aussi spécifier le moment précis
τ où l’objet est passé au périhélie. L’ensemble des six quantités
i, Ω, ω, a, e, τ (8.71)
sont ce qu’on appelle les éléments de l’orbite elliptique et permettent en principe de trouver la
position précise d’un objet (planète, astéroïde, satellite, etc.) dans l’espace, à tout instant. Cependant,
il faut garder à l’esprit que les éléments d’un orbite réelle ne sont pas constants, en raison des
perturbations causées par les autres planètes ou par d’autres objets. Ainsi, certains éléments,en
particulier ω et Ω, ont des variations lentes et progressives dites séculaires. L’étude de ces variations
est l’objet principal de la mécanique céleste (la mécanique des objets célestes) et permet
non seulement de contrôler les vols spatiaux, mais d’étudier les causes physiques de ces variations,
comme par exemple les corrections apportées par la relativité générale à l’orbite de Mercure, ou
l’effet de la forme aplatie de la Terre sur l’orbite des satellites artificiels. Le tableau 8.1 énumère
quelques paramètres orbitaux d’objets du système solaire.
8.6 Le problème à deux corps
Notre traitement du problème de Kepler laisse un peu à désirer, car il suppose que la masse centrale
est fixe, alors que c’est le centre de masse de l’astre et de l’objet qui doit être fixe dans un référentiel
inertiel. En d’autres termes, nous avons résolu le problème à un corps, dans lequel un seul objet
est mobile. Il est vrai que cette supposition est pratiquement correcte quand le centre d’attraction
est beaucoup plus lourd que l’objet, mais ce n’est pas toujours le cas.
Heureusement, il est facile de résoudre le problème à deux corps, dans lequel deux objets sont
mobiles et exercent une force mutuelle en l’inverse du carré de la distance. onsidérons deux objets,
de masses m et M et de positions r 1 et r 2 , qui interagissent par une force centrale F (r), qui ne
dépend, par définition, que de la distance r = |r 1 −r 2 |. Définissons le vecteur r = r 1 −r 2 de position