Document de cours de référence

210 11. Relativité restreinte
c) Montrez que la distance parcourue en fonction du temps propre écoulé est
x(τ) = c2
g
(cosh(gτ/c) − 1)
d) Supposons que, dans le but de parcourir une distance D au total, en un temps propre total T , le vaisseau
change le signe de son accélération à mi-course pour arriver à destination avec une vitesse nulle (par rapport
à S). Reliez D à T et trouvez la valeur numérique de T associé à un voyage vers (1) alpha du Centaure [4,3
a.l.] et (2) la galaxie d’Andromède [2,6 millions d’a.l.].
Problème 11.10
La navette spatiale est en orbite circulaire de rayon r = R ⊕ + h (R ⊕ est le rayon de la Terre et h l’altitude
de l’orbite). L’altitude de l’orbite est petite en comparaison de R ⊕ (quelques pourcents).
a) En fonction de r, M ⊕ , G et c 2 , exprimez le retard relatif d’une horloge extrêmement précise portée par la
navette sur une horloge identique restée sur Terre. Négligez la rotation de la Terre sur elle-même. Faites les
approximations mathématiques nécessaires, compte tenu que la vitesse de la navette est petite en comparaison
de c (e.g. développement du binôme). Note : le retard relatif est défini comme le changement de période divisé
par la période (∆T/T ).
b) L’effet Doppler gravitationnel fait qu’un photon qui s’élève voit sa fréquence diminuer. Le changement
relatif de fréquence est ∆f/f = gh/c 2 . Cet effet va dans le sens inverse de celui calculé en (b); Selon vous,
est-il plus important, moins important ou d’égale importance? Autrement dit, laquelle des deux horloges aura
effectivement pris du retard quand on les ramènera côte à côte pour comparaison? Justifiez votre opinion
quantitativement (vous pouvez négliger la variation de g entre le sol et l’altitude de la navette).
Problème 11.11
Un particule de masse m et de vitesse u entre en collision avec une autre particule de masse m, mais au repos.
Quelle est la vitesse V du référentiel du centre d’impulsion, en fonction de u?
Problème 11.12
a) Démontrez qu’il est impossible à un électron libre d’émettre un photon, i.e., démontrez que l’énergie et
l’impulsion ne peuvent être simultanément conservées lors de ce processus. Pour faciliter les choses, placezvous
dans le référentiel de l’électron avant l’émission du photon.
b) Pourquoi alors un électron dans un atome peut-il émettre un photon?
Problème 11.13
a) Montrez que lorsqu’une particule possède une énergie E beaucoup plus grande que son énergie de repos
mc 2 , sa vitesse v et sa rapidité η sont approximativement données par
v/c ≈ 1 − 1 2
( mc
2
E
) 2 ( ) 2E
η ≈ ln
mc 2
b) Calculez la vitesse et la rapidité des particules suivantes : (i) un électron de 50 GeV et (ii) un proton de 1
TeV (ces énergies sont typiques des accélérateurs de particules des années 1990).