Document de cours de référence

5. Applications des lois du mouvement 57
La solution de cette équation se trouve exactement comme dans le cas d’une particule dans un
champ gravitationnel uniforme, c’est-à-dire par intégration répétée :
ṙ(t) = qE m t + v 0
où v 0 est la vitesse initiale de la particule et r 0 sa position initiale.
r(t) = qE
2m t2 + v 0 t + r 0
(5.38)
Exemple. Un électron est au repos à t = 0 et est ensuite accéléré par un champ électrique de
3 · 10 4 V/m sur une distance de 1cm. quelle est sa vitesse finale? Soit t le temps requis pour le
transit x, choisissons l’axe des x dans la direction du champ (E = Eˆx) et l’origine à la position
initiale de l’électron. Alors x = qEt 2 /2m = 1cm et donc t = √ 2mx/qE. La vitesse finale est
alors v = qEt/m = √ 2qEx/m. Vu que e = 1, 6 × 10 −19 C, E = 3 × 10 4 V/m, x = 10 −2 m et
m = 9, 11 × 10 −31 kg, on trouve v = 1, 0 × 10 7 m/s, c’est-à-dire un trentième de la vitesse de la
lumière.
Considérons maintenant le dispositif illustré sur la figure 5.5. Un champ électrique est établi entre
deux plaques d’un condensateur et un électron se déplaçant parallèlement aux plaques à l’entrée
du dispositif en sort avec un angle θ et continue alors son mouvement de manière rectiligne. Le
problème est d’exprimer l’angle θ en fonction de la longueur L du dispositif, de la vitesse v x de
l’électron le long de l’axe du dispositif et de l’intensité E du champ électrique.
y
+ + + + + + + + + + +
F= − eE
θ
x
− − − − − − − − − − −
Figure 5.5. Schéma d’un appareil servant à dévier un faisceau d’électrons.
Comme la force F = −eE (e est positif) est dirigée vers le haut, la composante v x de la vitesse de
l’électron est constante et le temps de transit au travers du dispositif est τ = L/v x . La composante
en y de la vitesse sera donc, après un temps τ,
Comme v y (0) = 0, l’angle θ sera donné par la relation
v y (τ) = v y (0) + eE m τ (5.39)
tan θ = v y (τ)
v x
= eEτ
mv x
= eEL
mv 2 x
(5.40)
Exemple. Prenons des valeurs réalistes. Si L = 10 −2 m, E = 3 × 10 3 V/m et v x = 10 7 m/s, alors
tan θ = 0, 053, ce qui donne θ ≈ 0, 053 rad. 2
2 On peut utiliser ici le développement de Taylor arctanθ = θ − 1 3 θ3 + 1 5 θ5 + · · ·.