Document de cours de référence

11. Relativité restreinte 189
11.5 Espace-temps et intervalle
Comme le temps n’est plus absolument indépendant de l’espace – la distinction entre les deux
dépend du référentiel utilisé – on parle volontier d’espace-temps, un lieu géométrique auquel appartiennent
des événements. Un événement est un point dans l’espace, considéré à un instant bien
précis et à cet instant seulement. Un événement est défini en spécifiant le vecteur position r et le
temps t, et on le note souvent (r, t). On peut même représenter cette notion graphiquement, en
portant la coordonnée x en abcisse et la coordonnée temporelle ct en ordonnée (on multiplie par c
pour que les unités des deux axes soient les mêmes). Un événement E correspond alors à un point
sur le plan (x, ct). Un référentiel différent correspond alors à deux autres axes x ′ et ct ′ , comme
illustré à la fig. 11.2. Une particule se déplaçant à la vitesse de la lumière (un photon) et passant
par l’origine x = ct = 0 est représentée par la droite x = ct (ou x ′ = ct ′ ).
La relation entre deux référentiels S et S ′ ne correspond pas exactement à une rotation des axes
(comparons la fig. 11.2 à la fig. 1.1). On peut cependant lui donner l’apparence mathématique
d’une rotation, mais par un angle imaginaire. Expliquons. On définit la rapidité η associée à une
vitesse V comme
V
= β = tanh η (11.24)
c
L’avantage de cette définition est que
1
√
1 − β
2 = cosh η et β
√
1 − β
2
On peut donc écrire la transformation de Lorentz comme
= sinh η (11.25)
x ′ = x cosh η − ct sinh η
ct ′ = ct cosh η − x sinh η
(11.26)
(en plus de y ′ = y et z ′ = z). Cette formule ressemble étrangement à la relation entre les coordonnées
(x, y) et (x ′ , y ′ ) suite à une rotation d’angle θ des axes cartésiens :
x ′ =
x cos θ + y sin θ
y ′ = −x sin θ + y cos θ
(11.27)
cette fois pour les coordonnées x et ct, sauf que ce sont des fonctions hyperboliques qui sont
utilisées. En fait, comme
on peut récrire la transformation de Lorentz ainsi :
cosh η = cos(iη) et sinh η = −i sin(iη) , (11.28)
x ′ = x cos(iη) + ict sin(iη)
ict ′ = −x sin(iη) + ict cos(iη)
(11.29)
En comparant avec la transformation (11.27), on voit qu’il s’agit formellement d’une rotation, mais
par un angle imaginaire iη. De plus, les coordonnées subissant cette rotation sont (x, ict) et non
(x, ct).
La différence essentielle entre la rapidité η et un angle θ est que la rapidité n’est pas périodique :
elle ne revient pas à elle-même après une variation de 2π. Elle varie en fait de −∞ à ∞. Cependant,
elle a ceci de commun avec l’angle de rotation que la rapidité associée à deux transformations de
Lorentz successives est la somme des rapidités associées. Autrement dit, l’application successive de