Document de cours de référence

6. Énergie et Travail 75
où M = 4πR 2 σ est la masse de la coquille.
Comme le potentiel gravitationnel V est constant à l’intérieur de la coquille, son gradient ∇V est
nul et le champ gravitationnel s’annule. Par contre, à l’extérieur, le champ gravitationnel est
g(r) = −∇V (r) = −G M ˆr (extérieur) (6.33)
r2 Considérons maintenant un objet sphérique de rayon R dont la densité volumique ρ(r ′ ) ne dépend
que de la distance r ′ au centre de la sphère. On peut alors diviser cette sphère en une série de
coquilles concentriques d’épaisseur dr ′ , chacune de ces coquilles portant une densité de masse par
unité de surface égale à σ = ρ(r ′ )dr ′ . La masse de chacune de ces coquille est alors
dM(r ′ ) = 4πr ′2 ρ(r ′ )dr ′ (6.34)
Le champ gravitationnel à l’extérieur de la sphère de rayon r est donné par la somme des champs
gravitationnels causés par les coquilles de rayons r ′ < r:
g(r) = −G
∫ r
0
dM(r ′ )
r 2
où M(r) est la masse totale incluse dans la sphère de rayon r :
M(r) =
∫ r
0
dM(r ′ )dr ′ = 4π
= −G M(r)
r 2 (6.35)
∫ r
0
r ′2 ρ(r ′ )dr ′ (6.36)
Par exemple, supposons que la densité ρ d’une planète de rayon R et de masse totale M tot soit
constante. Dans ce cas,
M(r) = 4π 3 ρr3 = M tot
( r
R
) 3
(6.37)
et donc le champ gravitationnel g, en fonction de la distance r au centre de la planète, est
⎧
r
⎪⎨ −GM tot
R3ˆr (r < R)
g(r) =
⎪⎩
1
(6.38)
−GM tot
r 2ˆr (r > R)
Finalement, mentionnons que cette propriété du champ gravitationnel d’un objet sphérique de se
comporter comme si sa masse était concentrée en son centre dépend crucialement de la dépendance
en 1/r 2 de la force gravitationnelle et ne serait pas vraie si la force avait une dépendance différente en
fonction de r. Comme la force électrique a aussi une dépendance en 1/r 2 , cette propriété s’applique
aussi à un objet chargé: un objet sphérique sur lequel on distribue une charge électrique de manière
symétrique produit un champ électrique comme si toute sa charge était concentrée en son centre,
en autant que l’observateur se situe à l’extérieur de l’objet.
Force exercée sur un objet sphérique
Nous avons démontré que le champ gravitationnel causé par un objet sphérique est identique à
celui que causerait le même objet si toute sa masse était concentrée en son centre. La contrepartie
de cette affirmation est que la force gravitationnelle totale exercée par un point matériel sur un
objet sphérique est la même que si toute la masse de l’objet sphérique était concentrée en son
centre. Ceci est une conséquence directe de la troisième loi de Newton. Or, en vertu du principe
de superposition, cela vaut aussi si le champ gravitationnel ressenti par l’objet sphérique n’est
pas causé par un simple point matériel, mais est quelconque. Ainsi, la Terre et la Lune, dans