Document de cours de référence

30 3. Les lois du mouvement
des champs électrique et magnétique, peut transporter de la quantité de mouvement, de l’énergie,
du moment cinétique, etc.
3.5 Centre de masse
Les trois lois de Newton formulées ci-haut s’appliquent au sens strict à des points matériels seulement.
Or les objets de la vie courante ne sont en aucun cas des points et il est important de
comprendre comment les lois de Newton peuvent être formulées pour s’appliquer à des objets
macroscopiques.
Premièrement, nous ferons l’hypothèse que tout objet peut être considéré comme un ensemble de
points matériels, même si cet ensemble peut contenir un nombre astronomique de points (ex. 10 23 ).
Après tout, les particules élémentaires sont physiquement ponctuelles (elles n’ont aucune structure
interne, par définition) et tout objet est ultimement une collection de particules élémentaires.
Dorénavant, ce que nous appellerons un système ou un objet sera simplement un ensemble de
particules considérées, elles, comme ponctuelles. Il est bien important de comprendre qu’un système
n’occupe pas nécessairement une région bien définie et fixe de l’espace et que sa forme peut changer
avec le temps. 4
La quantité qui tient lieu de position à un objet macroscopique est son centre de masse, ou centre
d’inertie, défini comme le vecteur suivant
R cm ≡
∑ N
i=1 m ir i ∑
i m i
= 1
M tot.
N ∑
i=1
m i r i (3.2)
où r i désigne la position et m i la masse de la i me particule du système (i = 1, 2, . . . , N). M tot.
désigne la masse totale ∑ i m i. Le centre de masse est donc la position moyenne des particules du
système, pondérée par la masse de chaque particule.
La vitesse du centre de masse, notée V cm , s’obtient simplement en calculant la dérivée par rapport
au temps de R cm :
V cm = dR cm
= 1 ∑
m
dt M i v i (3.3)
tot.
De même, l’accélération A cm du centre de masse est
A cm = dV cm
dt
i
= 1 ∑
m
M i a i (3.4)
tot.
Donc la quantité de mouvement (ou impulsion) totale d’un objet s’exprime comme la masse totale
M tot. fois la vitesse du centre de masse :
i
P tot. =
N∑
m i v i = M tot. V cm (3.5)
i=1
4 Par exemple, en appliquant les lois de la mécanique au mouvement d’une fusée, il faut inclure dans le
système la fusée elle-même et le carburant qu’elle contient et qu’elle brûle à chaque instant. Dans ce cas, les
gaz s’échappant des moteurs demeurent toujours dans le système, même s’ils ne sont plus contenus dans la
fusée. Autrement dit, aucune particule ne peut entrer ou sortir du système étudié sans qu’on ait à modifier
les règles de mécanique que nous allons énoncer.