Document de cours de référence

6. Énergie et Travail 83
Cependant, ce souci est injustifié. Il est vrai que les résultats de la section 6 ne sont corrects que si
le champ de force F est fixe, c’est-à-dire s’il ne dépend pas explicitement du temps mais seulement
de la position de la particule. Cependant, on peut facilement généraliser la définition de l’énergie
potentielle pour tenir compte du mouvement de plusieurs particules en interaction mutuelle. Pour
cela, il est utile d’introduire la notion d’espace des configurations. Étant donné un ensemble de
N particules à des positions r i , cet espace est de dimension 3N et ses 3N coordonnées sont les
composantes (x i , y i , z i ) des N particules.
Par définition, si la force est conservative, alors la force F i s’exerçant sur la particule i est (moins)
le gradient d’un potentiel U qui dépend en général des N coordonnées r i :
F i = − ∂
∂r i
U(r 1 , . . . , r N ) (6.65)
Cette notation signifie qu’on prend les dérivées partielles de la fonction U par rapport aux coordonnées
(x i , y i , z i ) de la i me particule pour obtenir les composantes de la force agissant sur cette
même particule. L’énergie totale des particules est alors définie comme
E =
N∑
i=1
1
2 mv2 i + U(r 1 , . . . , r N ) (6.66)
La preuve de la conservation de l’énergie se fait comme auparavant, c’est-à-dire en calculant sa
dérivée par rapport au temps :
dE
dt = d dt
=
=
N∑
i=1
N∑
i=1
1
2 mv2 i + d dt U(r 1, . . . , r N )
m i v i · dv N i
dt + ∑ ∂
U(r
∂r 1 , . . . , r N ) · dr i
i dt
i=1
N∑
v i · (ma i − F i ) = 0
i=1
(6.67)
où on a supposé que la force totale agissant sur la i me particule est la somme de la force conservative
F i de de forces de contrainte ou magnétiques, perpendiculaires à la vitesse de chaque particule. Il
est important de noter que si l’énergie cinétique du système est la somme des énergies cinétiques
des particules du système, il n’en va pas de même de l’énergie potentielle en général.
Comme premier exemple, considérons deux masses, de positions r 1 et r 2 , reliées par un ressort dont
la longueur à l’équilibre est pratiquement nulle. L’énergie potentielle est alors proportionnelle au
carré de la distance entre les deux masses, soit le carré de l’étirement du ressort :
U = 1 2 k(r 1 − r 2 )2 = 1 2 k [ (x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 + (z 1 − z 2 ) 2] (6.68)
où k est la constante du ressort. La force agissant sur la masse 1 est
F 1 = − ∂U
∂x 1
ˆx − ∂U
∂y 1
ŷ − ∂U
∂z 1
ẑ = −k [(x 1 − x 2 )ˆx + (y 1 − y 2 )ŷ + (z 1 − z 2 )ẑ] = −k(r 1 − r 2 ) (6.69)
Cette force est parallèle à la droite reliant les deux masses et est dirigée vers la masse 2. La force
agissant sur la masse 2 est exactement opposée, ce qui se manifeste directement dans le calcul des
dérivées :
F 2 = − ∂U
∂x 2
ˆx − ∂U
∂y 2
ŷ − ∂U
∂z 2
ẑ = +k [(x 1 − x 2 )ˆx + (y 1 − y 2 )ŷ + (z 1 − z 2 )ẑ] = k(r 1 − r 2 ) (6.70)