Document de cours de référence

154 9. Moment cinétique et rotation des corps
b) Montrez que si le petit tuyau est remplacé par un cylindre plein de rayon a, cette fréquence devient
ω =
√
g(R − a)/[ 1 2 R2 + (R − a) 2 ]
et que si le petit tuyau est remplacé par une sphère pleine de rayon a, elle devient
√
ω =
g(R − a)/[ 2 5 R2 + (R − a) 2 ]
Indices : (1) Il faut écrire une expression complète pour l’énergie du petit tuyau, incluant les énergies potentielle,
cinétique de rotation et cinétique de translation. (2) Le petit tuyau roule sans glisser, ce qui permet de
relier θ à ϕ. (3) Il faut exprimer l’énergie en fonction de θ et de ˙θ seulement et faire l’approximation que θ
est petit. (4) L’énergie est conservée (Ė = 0) ce qui nous permet d’obtenir une équation différentielle pour θ
identique à celle du pendule aux petites oscillations et d’identifier la fréquence ω.
Problème 9.9
Un yo-yo de masse m a un axe intérieur de rayon b (autour duquel
s’enroule la corde), un rayon extérieur R et un moment d’inertie I. Le
yo-yo est placé sur une table et on tire la corde horizontalement avec
une force F de sorte que la corde s’enroule autour de l’axe intérieur en
même temps que le yo-yo s’approche, en roulant sans glisser.
a) Quelle est la force de frottement F fr. qui s’exerce au point de contact
entre le sol et le yo-yo? Cette force est-elle plus grande ou plus petite
que F ? Si on suppose que le yo-yo a le même moment d’inertie qu’un
disque, que devient cette formule?
b) Si le coefficient de friction statique est µ, quelle est la force maximum F au-delà de laquelle le yo-yo
commence à glisser sur la table?
Problème 9.10
Considérez un yo-yo idéal (avec un rayon extérieur R, un rayon intérieur b et le moment d’inertie d’un disque)
qui se déroule en tombant sous l’influence de la gravité (le point de suspension de la corde reste fixe). Le
yo-yo, après être parvenu à son point le plus bas (la longueur de la corde est l), remonte ensuite jusqu’à son
point de départ. Obtenez une expression pour la vitesse v du yo-yo en fonction de sa coordonnée verticale z
(on suppose que z = l au départ et z = 0 à son point le plus bas). Indice : utilisez la loi de conservation de
l’énergie.
R
b
F
Problème 9.11
Un poids de masse m est suspendu à un fil enroulé autour d’une poulie (pleine) de masse M et de rayon R.
Ce poids tombe sous l’effet de la gravité. Montrez que l’accélération du poids vers le bas est g/(1 + M/2m).
R
M
m
Problème 9.11