Document de cours de référence

6 Énergie et Travail
La solution exacte des équations du mouvement d’un système mécanique est en général impossible.
En fait, seuls quelques systèmes relativement simples admettent une solution analytique complète
qui permette d’exprimer la position des particules explicitement en fonction du temps écoulé. Par
contre, même pour des systèmes très complexes, il existe des lois de conservation qui stipulent que
certaines quantités, telles l’énergie, la quantité de mouvement et le moment cinétique, sont conservées
au cours du temps. Ces lois de conservation nous permettent de caractériser partiellement
le mouvement du système, même celui-ci ne peut être calculé de manière complète. Dans cette
section, nous allons définir l’une de ces quantités, l’énergie, et décrire les circonstances où elle est
conservée.
6.1 Dimension un
Commençons pas considérer le mouvement d’une particule de masse m contrainte de se déplacer
en une seule dimension, avec coordonnée x. Supposons que cette particule subit une force F (x)
qui ne dépend que de la coordonnée de la particule. 1 Ce dernier détail est important : il ne faut
pas que F dépende de la vitesse de la particule (donc toute force de viscosité ou de frottement est
exclue) ou que F dépende de manière explicite du temps. 2 Dans ce cas, on peut définir la fonction
suivante, qu’on appelle le potentiel de la force F , ou encore l’énergie potentielle de la particule au
point x :
∫
U(x) = −
F (x)dx ou F (x) = − dU
dx
L’intégrale ci-haut est indéfinie, et donc U(x) est défini à une constante additive près.
D’autre part, on définit l’énergie cinétique K de la particule comme
(6.1)
K = 1 2 mv2 (6.2)
et l’énergie totale E comme
E = K + U(x) = 1 2 mv2 + U(x) (6.3)
Nous allons maintenant démontrer que l’énergie E est constante au cours du mouvement de la
particule, en vertu de la deuxième loi de Newton et des définitions de K et U. Pour ce faire, il suffit
de calculer la dérivée totale par rapport au temps de l’énergie et de constater qu’elle s’annule :
dE
dt = 1 2 mdv2
dt + dU
dt
= 1 2 m (
2v dv
dt
)
+ dU
dx
= v(ma − F (x)) = 0
dx
dt
(6.4)
La dernière égalité est valable en vertu de la deuxième loi de Newton.
1 Puisque nous sommes en une dimension, nous n’utiliserons pas la notation vectorielle dans cette soussection.
F représente donc la composante en x de la force, et non la grandeur de la force, qui est |F |. De
même, v représente la composante en x de la vitesse, etc.
2 Bien sûr, la force dépend de manière implicite du temps, car la position x(t) de la particule dépend, elle,
du temps. Cependant, elle ne doit pas dépendre du temps autrement que part l’intermédiaire de la position.