Document de cours de référence

6. Énergie et Travail 79
(le terme linéaire en x − x 0 s’annule puisque U ′ (x 0 ) = 0). Si x − x 0 reste petit, c’est-à-dire si la
particule ne s’éloigne pas beaucoup du point d’équilibre, alors on peut tronquer la série de Taylor
au terme quadratique sans faire une trop grande erreur. L’énergie potentielle affecte alors la forme
d’une parabole. Si l’équilibre est stable, le potentiel a alors la même forme que pour une masse liée
à un ressort obéissant à la loi de Hooke, avec une constante de rappel k = U ′′ (x 0 ).
Si la dérivée deuxième du potentiel s’annule (U ′′ (x 0 ) = 0) au point d’équilibre, alors il faut se
rendre jusqu’au terme cubique dans le développement de Taylor :
U(x) = U(x 0 ) + 1 6 U (3) (x 0 )(x − x 0 ) 3 + · · ·
et l’équilibre est alors instable, car la force a le même signe de part et d’autre du point d’équilibre,
de sorte que l’objet s’éloigne de x 0 si on le déplace légèrement vers la gauche (si U (3) (x 0 ) > 0) ou
vers la droite (si U (3) (x 0 ) < 0). Plus généralement, c’est le premier coefficient non nul de la série
de Taylor (outre le terme constant) qui détermine la nature de l’équilibre. Si tous les coefficients
sont nuls sauf le terme constant, alors l’énergie potentielle est simplement une constante dans cette
région de l’espace et la force est nulle. On parle alors d’équilibre indifférent.
La notion de stabilité s’applique aussi très facilement aux systèmes qui, sans être strictement
unidimensionnels, n’ont qu’un seul degré de liberté. Considérons par exemple un pendule rigide,
c’est-à-dire une masse m attachée à l’extrémité d’une tige rigide sans masse de longueur l, dont
l’autre extrémité est fixée à un pivot, comme à la section précédente. L’énergie potentielle du
pendule en fonction de l’angle d’inclinaison ϕ est
U(ϕ) = −mgl cos ϕ (6.48)
La force correspondante est obtenue en appliquant le gradient en coordonnées cylindriques :
F ϕ (ϕ) = − 1 l
∂U
∂ϕ
Il y a deux points d’équilibre : ϕ = 0 et ϕ = π. La dérivée de la force est
= −mg sin ϕ (6.49)
F ′ ϕ(ϕ) = − 1 l U ′′ (ϕ) = −mg cos ϕ (6.50)
L’équilibre est donc stable à ϕ = 0 (U ′′ (0) > 0) et instable à ϕ = π (U ′′ (π) < 0).
La généralisation à plusieurs dimensions et plusieurs particules de la notion de stabilité est plus
délicate. Encore que la condition d’équilibre soit bien évidemment donnée par F(r) = 0, l’expression
mathématique de la condition de stabilité est plus compliquée. Il faut que le système en son entier
ait tendance à revenir à son point d’équilibre si on le déplace légèrement et ce, quelque soit la
direction de ce déplacement. Ceci n’est pas toujours possible. En particulier, on montre qu’une
particule se déplaçant dans un champ gravitationnel (ou un champ électrique) ne peut pas jouir
d’un équilibre stable, mais seulement d’un équilibre instable. Ce serait le cas, par exemple, d’une
particule située à un point intermédiaire entre la Terre et la Lune où les forces gravitationnelles
exercées par ces deux astres se compensent mutuellement. Dans ce cas, l’équilibre pourrait sembler
stable dans une direction, mais il serait instable dans une autre direction.