Document de cours de référence

5. Applications des lois du mouvement 65
Problème 5.6
Dans ce problème, nous calculerons le retard d’une horloge grand-père basée sur le pendule simple, lorsque
l’amplitude de son balancier diminue. La période du pendule est donnée par l’Éq. (5.29). À la suite de
cette équation, l’approximation harmonique est discutée, dans laquelle le cosinus est remplacé par son
développement de Taylor au deuxième ordre. Dans cette approximation, la période est indépendante de
l’amplitude.
a) Supposons toujours que l’amplitude est petite, mais augmentons l’ordre d’approximation. Pour cela, utilisons
le développement de Taylor du cosinus au quatrième ordre :
cos θ ≈ 1 − 1 2 θ2 + 1 24 θ4
Substituez ce développement dans la formule (5.29) et effectuez un développement de Taylor de l’intégrant
au premier ordre. Montrez que
√
l
T ≈ 4
g
∫ ϕ0
0
{
dϕ
√ 1 + 1 }
ϕ 2 0 − ϕ2 24 (ϕ2 0 + ϕ 2 )
Indice : vous devez utiliser le développement de Taylor de la fonction f(ε) = 1/ √ 1 + ε autour du point ε = 0.
b) Calculez cette intégrale et montrez qu’à cet ordre d’approximation
{
T ≈ T 0 1 + 1 }
16 ϕ2 0
On voit que la période dépend maintenant de l’amplitude.
c) Une horloge grand-père a initialement une période de 2s, un balancier de 1m de long qui se déplace de 4cm
de part et d’autre de la verticale. Au bout d’une semaine, son amplitude a diminué de 10%. De ce fait, est-ce
que l’horloge retarde ou avance? De combien de secondes par jour?
Problème 5.7
Une particule de charge q, de masse m et d’énergie E pénètre à l’intérieur
d’un spectromètre de masse, c’est-à-dire d’une région dans laquelle un champ
magnétique uniforme B est appliqué. La trajectoire de la particule devient
alors circulaire et elle frappe la paroi à une distance d de son point d’entrée.
Exprimez d en fonction des autres paramètres du problème.
B
Problème 5.8
On tire un petit projectile à la verticale, avec une vitesse initiale v 0 . Le problème est de calculer son altitude
z en fonction du temps, en tenant compte de la gravité et de la résistance de l’air. Comme l’objet est petit,
on supposera que la résistance de l’air est exactement proportionnelle à la vitesse et que la force de résistance
est mγv (en grandeur), m étant la masse de l’objet, v sa vitesse et γ une constante. Nous supposerons que la
force de gravité est constante (on néglige sa variation en fonction de l’altitude). On adoptera comme origine
la position du tir (z = 0) et on supposera que le mouvement ne se produit que dans la direction z.
a) Soit v(t) la composante en z de la vitesse du projectile. Écrivez l’équation différentielle que doit satisfaire
v(t) en fonction du temps, d’après la deuxième loi de Newton.
b) Solutionnez cette équation différentielle avec la condition initiale v(0) = v 0 . L’équation s’intègre facilement.
c) Exprimez maintenant l’altitude z en fonction du temps, d’après la solution trouvée à la partie précédente.
d