Document de cours de référence

11. Relativité restreinte 195
déplaçant par rapport au premier à une vitesse V ˆx, les composantes de la vitesse de ce faisceau
lumineux sont
v ′ x = −V
v ′ y = c γ
=⇒ v ′2 = (v ′ x) 2 + (v ′ y) 2 = V 2 + c 2 (1 − V 2 /c 2 ) = c 2 (11.46)
Donc la grandeur de la vitesse du faisceau est encore c (évidemment, car c’est la condition qui a
mené à la transformation de Lorentz) et la tangente de l’angle d’aberration est
tan α = v′ x
v ′ y
= − V c
1
√
1 − V
2
/c 2 ≈ −V c
(V ≪ c) (11.47)
(le signe de la tangente ne fait que refléter la direction de la vitesse V et notre convention sur le
signe des angles).
La rapidité η d’une particule de vitesse v est bien sûr définie comme v/c = tanh η. Si η R est la
rapidité associée à la vitesse relative des deux référentiels et η ′ la rapidité de la particule dans S ′ ,
alors la tranformation des vitesses dans le cas v y = v z = 0 s’écrit
Ceci provient de la loi d’addition des tangentes hyperboliques :
η ′ = η − η R (11.48)
tanh(a + b) =
tanh a + tanh b
1 + tanh a tanh b
(11.49)
11.9 Effet Doppler
Effet Doppler non relativiste : source en mouvement
Considérons une source d’impulsions (lumineuses ou sonores) se déplaçant à une vitesse v vers la
droite et un observateur au repos, à droite de la source (voir figure). Supposons ici que l’onde se
déplace dans un milieu (l’air, pour le son) à une vitesse w et que l’observateur est au repos par
rapport à ce milieu. L’onde est émise par la source à une fréquence f 0 . La fréquence f à laquelle
les impulsions sont recueillies par l’observateur est différente :
f =
f 0
1 − v/w
(11.50)
C’est l’effet Doppler pour une source en mouvement. Rappelons comment on démontre cette formule.
La distance entre deux impulsions (ou deux fronts d’onde) dans le milieu est L = (w − v)T 0 ,
où T 0 est l’intervalle de temps entre l’émission de deux impulsions par la source. L’intervalle de
temps entre deux réceptions par l’observateur est T = L/w. Comme f = 1/T et f 0 = 1/T 0 , on
trouve
f = 1 T = w L =
w
(w − v)T 0
=
f 0
1 − v/w
(11.51)
Autrement dit, la fréquence du signal est plus élevée quand la source se dirige vers l’observateur
et plus faible quand elle s’en éloigne.