Document de cours de référence

196 11. Relativité restreinte
w
S
v
L
O
(A)
w
S
L
v
O
(B)
Figure 11.4. Schéma de l’effet Doppler non relativiste. En (A), la source est en mouvement alors qu’en
(B), c’est l’observateur qui est en mouvement. Dans les deux cas le milieu de propagation est au repos.
Le signal se propage à la vitesse w vers la droite. Le signe de v est positif tel qu’illustré.
Effet Doppler non relativiste : observateur en mouvement
Considérons maintenant une source au repos par rapport au milieu de propagation du signal et un
observateur qui se dirige vers la gauche à une vitesse v. La fréquence perçue par l’observateur est
maintenant
(
f = f 0 1 + v )
(11.52)
w
Rappelons encore une fois la démonstration de cette formule : la distance L entre deux impulsions
est L = wT 0 , mais le temps T écoulé entre deux réceptions par l’observateur est tel que L =
(w + v)T . Donc
f = 1 T = w + v
L
= w + v = f
wT 0
(1 + v )
0 w
(11.53)
Encore une fois, la fréquence apparait plus élevée à l’observateur qui s’approche de la source et
moins élevée à celui qui s’en éloigne.
Effet Doppler relativiste
Les deux formules (11.50) et (11.52) sont différentes, ce qui signifie qu’on peut distinguer une source
en mouvement d’un observateur en mouvement. La raison est qu’il existe un référentiel préférentiel,
celui du milieu de propagation. Or, la théorie de la relativité part du principe qu’un tel référentiel
(celui de l’éther) n’existe pas pour la lumière. Les formules (11.50) et (11.52) doivent donc être
fausses pour la lumière se propageant dans le vide! En fait, la formule relativiste correcte pour
l’effet Doppler de la lumière dans le vide est
√
1 + v/c
f = f 0 (11.54)
1 − v/c
cette formule coïncide avec la moyenne géométrique de (11.50) et (11.52) pour w = c. La
démonstration est simple. On peut reprendre le raisonnement qui a mené à l’Éq. (11.50), sauf
que la période T 0 doit être remplacée par la période mesurée dans le référentiel de l’observateur,
c’est-à-dire T 0 γ > T 0 , en raison de la dilatation du temps. Le résultat est donc
f = 1 T = c L =
c
(c − v)T 0 γ = f √
0
√1 1 − v2 /c
1 − v/c
2 + v/c
= f 0
1 − v/c
(11.55)