Document de cours de référence

6. Énergie et Travail 71
Supposons encore que la particule subit l’influence d’une force F(r) – la notation vectorielle est
rétablie – qui ne dépend que de la position de l’objet et non de sa vitesse ou du temps. On qualifie
cette force de conservative si le vecteur F est le gradient d’une fonction :
ou, exprimé en composantes cartésiennes,
F x = − ∂U
∂x
F = −∇U(r) (6.11)
F y = − ∂U
∂y
F z = − ∂U
∂z
(6.12)
(l’annexe 6.9 explique la notion de gradient). La fonction U(r) est encore appelée le potentiel
associé à la force F, ou encore l’énergie potentielle de la particule.
L’énergie de la particule est toujours définie par
E = K + U(r) K = 1 2 mv2 (6.13)
sauf que l’énergie cinétique fait intervenir le carré de la grandeur de la vitesse, v 2 , et non une seule
composante comme en dimension un. Pour démontrer que E est conservée, il suffit encore d’en
calculer la dérivée par rapport au temps et de constater qu’elle s’annule :
dE
dt = d ( 1
dt
2 mv2 + U(r) )
= mv · dv
dr
+ ∇U(r) ·
dt dt
= v · (ma − F) = 0
(6.14)
Notons que nous avons encore supposé dans ce calcul que l’énergie potentielle U ne dépend pas
explicitement du temps, mais qu’elle ne varie dans le temps que parce que la position r de la
particule varie. Dans le cas contraire, par exemple si l’objet qui produit la force F se déplace, le
calcul ci-haut est inapplicable et doit être généralisé de manière appropriée (nous reviendrons sur
cette question plus bas). Notons aussi que nous avons calculé la dérivée par rapport au temps de
U par la règle d’enchaînement :
dU
dt = ∂U dx
∂x dt + ∂U dy
∂y dt + ∂U dz
∂z dt
= ∇U(r) · dr
dt
(6.15)
La relation dE/dt = 0 constitue la loi de conservation de l’énergie, démontrée ici pour une particule
dans un champ de force externe dérivé d’un potentiel.
D’après la relation (6.11), le potentiel n’est défini qu’à une constante additive près : ajouter une
constante au potentiel ne change pas la force qui en découle. Choisir cette constante revient à
choisir un point dans l’espace où le potentiel s’annule, et constitue une convention.
Notons tout de suite la différence essentielle entre les cas unidimensionnel et tridimensionnel :
en une dimension, toute force F (x) qui ne dépend que de la coordonnée x possède un potentiel,
défini à une constante additive près par l’intégrale (6.1). Par contre, en dimension D > 1, il n’est
pas garanti que la force F(r) dérive d’un potentiel : dans l’affirmative, la force est qualifiée de
conservative, mais le contraire est mathématiquement possible. Plus précisément, on démontre
qu’un champ de force F(r) est conservatif si et seulement si la condition suivante est respectée :
∂F y
∂z = ∂F z
∂y
,
∂F x
∂z = ∂F z
∂x
,
∂F y
∂x = ∂F x
∂y
(6.16)