Document de cours de référence

8 1. Rappels sur les vecteurs
Cette relation peut se mettre sous forme matricielle :
⎛
⎝ A ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
x cos θ − sin θ 0
A y
⎠ = ⎝ sin θ cos θ 0 ⎠ ⎝ A′ x
A ′ ⎠
y
(1.24)
A z 0 0 1 A ′ z
Si on veut maintenant exprimer les composantes primées en fonction des composantes non primées,
il faut inverser cette matrice. Or, on vérifie facilement que l’inverse de cette matrice est obtenu
simplement en inversant le signe de θ, ce qui revient à prendre la transposée de la matrice :
A ′ x =
A x cos θ + A y sin θ
A ′ y = −A x sin θ + A y cos θ
(1.25)
A ′ z = A z
L’important ici est de réaliser que les composantes d’un vecteur n’ont pas de caractère absolu :
elles dépendent de la base (c’est-à-dire du choix des axes). Cependant, le vecteur A en soi est
une entité indépendante des axes. C’est un des avantages principaux de la notation vectorielle de
nous permettre de manipuler symboliquement des vecteurs sans avoir à spécifier la base utilisée
(ou l’orientation des axes).
Après cet exemple simple, voyons comment il se généralise à un changement de base quelconque. Considérons
une base de trois vecteurs e 1 , e 2 et e 3 . Les composantes d’un vecteur A sont alors désignées par A 1 , A 2 et
A 3 :
3∑
A = A 1 e 1 + A 2 e 2 + A 3 e 3 = A i e i (1.26)
La base B formée des trois vecteurs e i est tout à fait arbitraire. En fait, n’importe quel ensemble de trois
vecteurs linéairement indépendants forme une base convenable en fonction de laquelle tout vecteur peut être
exprimé. Soit {e ′ 1 , e′ 2 , e′ 3 } trois autres vecteurs, formant eux-aussi une base, et qui s’expriment ainsi en fonction
de la base B:
e ′ 1 = S 11 e 1 + S 12 e 2 + S 13 e 3
Cette relation s’écrit de manière plus concise en notation de sommation :
i=1
e ′ 2 = S 21 e 1 + S 22 e 2 + S 23 e 3
(1.27)
e ′ 3 = S 31 e 1 + S 32 e 2 + S 33 e 3
e ′ i =
3∑
S ij e j (1.28)
j=1
Le coefficient S ij est la j e composante, dans la base B, du i e vecteur e ′ i . Les trois vecteurs {e′ 1 , e′ 2 , e′ 3 } sont
linéairement indépendants – et donc forment une base de R 3 – si leur produit triple est non nul, c’est-à-dire
si le déterminant ∣ ∣ ∣∣∣∣∣ S 11 S 12 S 13 ∣∣∣∣∣
S 21 S 22 S 23
(1.29)
S 31 S 32 S 33
est non nul. Si S désigne la matrice formée par les coefficients S ij (i est l’indice de rangée et j l’indice de
colonne) alors on écrit cette condition det S ≠ 0. Appelons alors B ′ la base {e ′ 1 , e′ 2 , e′ 3 }.
Un vecteur A se décompose comme suit dans la base B ′ :
A = A ′ 1e ′ 1 + A ′ 2e ′ 2 + A ′ 3e ′ 3 =
3∑
A ′ i e′ i (1.30)
i=1