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9. Moment cinétique et rotation des corps 159 z(t) = r sin i sin(ωt), où l’origine est au centre de la Terre et où l’axe des z coïncide avec l’axe polaire terrestre. ω est la fréquence de révolution du satellite autour de la Terre. Indice : calculez la moyenne de l’énergie potentielle du satellite sur son orbite. c) À l’aide de l’énergie potentielle trouvée en (b) et de la relation entre le couple et l’énergie potentielle, montrez que la fréquence de précession du plan orbital du satellite est Ω = 3Cω R2 ⊕ r 2 cos i d) Si l’inclinaison est de 45 ◦ et l’altitude du satellite environ 100km, combien de révolutions sont-elles nécessaires pour que le plan orbital ait effectué une précession complète et revienne à son état original?
10 Référentiels accélérés Un référentiel inertiel est une idéalisation. En pratique, les référentiels que nous utilisons, comme le référentiel terrestre, ne sont pas exactement inertiels. Il est donc important de comprendre comment incorporer dans l’étude du mouvement les effets qui proviennent d’un référentiel accéléré. 10.1 Forces d’inertie Un référentiel est dit accéléré s’il n’est pas inertiel, c’est-à-dire si son origine ou ses axes sont en mouvement accéléré par rapport à un référentiel inertiel. Considérons d’abord le cas d’un référentiel accéléré S a dont les axes ont la même orientation que les axes d’un référentiel inertiel S i . L’origine du référentiel S a par rapport à S i est le vecteur r 0 (t) et peut dépendre du temps d’une manière quelconque. Un objet en mouvement est caractérisé par une position r i dans le référentiel S i et une position r a dans le référentiel S a . Bien sûr, r a = r i − r 0 (t) (10.1) En prenant la dérivée par rapport au temps de cette relation, on trouve v a = v i − v 0 (t) , (10.2) où v 0 est la vitesse instantanée du référentiel S a par rapport à S i . Si v 0 est constante, c’est que S a n’est pas accéléré, mais constitue un autre référentiel inertiel. Si on dérive une fois de plus par rapport au temps, on trouve a a = a i − a 0 (t) , (10.3) où a 0 est l’accélération de l’origine de S a par rapport à S i . Par exemple, si un objet est au repos dans S a (v a = 0, a a = 0), alors son accélération par rapport à S i est a i = a 0 . Si, au contraire, il est au repos par rapport à S i (v i = 0, a i = 0), alors son accélération telle que mesurée dans S a est a a = −a 0 . Comme indiqué à la section 3, la première loi de Newton n’est valable que dans un référentiel inertiel. La deuxième aussi d’ailleurs, car les lois de forces ne dépendent que des positions et vitesses relatives des particules, ce qui fait que la force agissant sur une particule et causée par un autre objet est la même, quel que soit le référentiel utilisé. On doit donc écrire F = ma i = m(a a + a 0 ) (10.4) Cependant, dans le but de conserver à la loi de Newton sa validité apparente dans le référentiel S a , on définit une force d’inertie (ou force fictive, ou pseudo-force) et on écrit la deuxième loi sous la forme F 0 = −ma 0 (10.5) F réel + F 0 = F app. = ma a (10.6) Nous avons affublé la force F de l’indice ‘réel’ pour insister sur le fait qu’il s’agit de la force associée aux interactions avec d’autres objets, celle qui apparait dans un référentiel inertiel. La force apparente F app. est la force réelle, plus la force d’inertie, telle que ressentie dans un référentiel accéléré. La force d’inertie s’ajoute donc aux autres forces dans la loi de Newton. Notons cependant que cette force n’est pas associée à la proximité des autres objets (elle ne résulte pas d’une interaction) mais est simplement un artifice du référentiel accéléré choisi.
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David Sénéchal MÉCANIQUE I ω B
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v(t) 16 2. Mouvement d’un point u
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Annexe B Constantes physiques et as
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Bibliographie H. Goldstein, Classic
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218 Index force, 28 élastique, 39
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