Document de cours de référence

9. Moment cinétique et rotation des corps 137
z
x
F3
θ
L /2
mg
F 1
F2
L/2
Figure 9.1.
Échelle en équilibre statique appuyée sur un mur et forces en présence.
Cette condition nous permet d’exprimer F 1 et F 2 en fonction des autres forces. La deuxième de
ces conditions s’exprime ainsi, si on choisit comme axe de rotation le point de contact de l’échelle
avec le sol :
N tot. =
(mg L )
2 sin θ − F 3 L cos θ ŷ = 0 (9.24)
L’annulation de ce couple total donne F 3 = 1 2mg tan θ. Nous avons donc déterminé les trois forces
inconnues du problème (F 1 , F 2 et F 3 ).
Notons que la force de frottement statique F 2 ne peut dépasser la valeur µF 1 et ceci nous permet de
trouver l’angle critique θ c au-delà duquel l’échelle n’est plus en équilibre : on applique la condition
de frottement maximal F 2 = µF 1 , ou
F 3 = 1 2 mg tan θ c = µmg =⇒ θ c = arctan 2µ (9.25)
On constate que, selon cette formule, θ c → 0 quand µ → 0 et θ c → π/2 quand µ → ∞, ce qui est
normal.
9.4 vitesse angulaire de rotation
On qualifie un objet de rigide si les distances mutuelles des points qui le composent sont fixes
dans le temps. Considérons un point quelconque P appartenant à l’objet. Il est assez évident que
le mouvement de ce point peut être décrit par rapport à un point de référence O lié à l’objet, et
que le mouvement de l’objet dans son ensemble peut être décrit par le mouvement de ce point de
référence. Ainsi, si R(t) est la position du point P par rapport à un référentiel externe à l’objet
(celui de l’observateur), R 0 (t) la position du point de référence O et r(t) la position du point P
par rapport à O, on a la relation
R(t) = R 0 (t) + r(t) (9.26)
Comme l’objet est rigide, le vecteur r gardera toujours la même grandeur au cours du temps. Un
théorème, que nous ne démontrerons pas ici, stipule que le mouvement de l’objet par rapport au
point O est un mouvement de rotation instantané, c’est-à-dire qu’il existe au temps t un axe A
passant par le point O et que tous les points de l’objet décrivent instantanément un mouvement