Document de cours de référence

9. Moment cinétique et rotation des corps 139
Le vecteur vitesse angulaire ω est une caractéristique du mouvement de rotation instantané de
l’objet rigide, c’est-à-dire qu’il est commun à tous les points de l’objet.
9.5 Rotation autour d’un axe fixe : moment d’inertie
Nous allons considérer dans cette section un objet rigide, maintenu en rotation autour d’un axe invariable,
soit par une contrainte mécanique (par exemple, un essieu), soit par un concours favorable
de conditions initiales. 2
Supposons que l’axe de rotation coïncide avec l’axe des z. Nous allons premièrement démontrer que
la composante J z du moment cinétique le long de cet axe est proportionnelle à la vitesse angulaire
ω de rotation :
J z = Iω (9.30)
La constante de proportionnalité I est appelée moment d’inertie et dépend de la distribution de
masse de l’objet autour de l’axe de rotation :
I = ∑ i
m i (x 2 i + y2 i ) = ∑ i
m i ρ 2 i (9.31)
Ici, ρ i est la coordonnée cylindrique radiale de la i me particule de l’objet. Seule compte dans le
moment d’inertie la distance ρ par rapport à l’axe de rotation.
Pour démontrer ces relations, utilisons la relation (9.28) appliquée à i me particule de l’objet :
v i = ω ∧ r i . Le fait que l’objet soit rigide nous assure que la vitesse angulaire est la même (en
grandeur et direction) pour toutes les particules qui forment l’objet. Le moment cinétique de l’objet
par rapport à un point sur l’axe de rotation est alors
J = ∑ i
= ∑ i
= ∑ i
m i r i ∧ v i
m i r i ∧ (ω ∧ r i )
m i
{
ωr
2
i − r i (r i · ω) } (9.32)
où nous avons utilisé la formule du double produit vectoriel : A ∧ (B ∧ C) = B(A · C) − C(A · B).
La composante en z de cette relation est
J z = ∑ i
m i
{
ωr
2
i − z i (r i · ω) } (9.33)
Comme r i · ω = ωz i et ri 2 = ρ2 i + z2 i , on trouve
J z = ∑ i
m i (ωr 2 i − ωz2 i ) = ω ∑ i
m i ρ 2 i , (9.34)
tel qu’annoncé.
C.Q.F.D.
2 Nous verrons plus tard qu’un objet rigide libre de contraintes ne tourne pas, en général, autour d’une axe
fixe, même si son moment cinétique est constant.