Document de cours de référence

6. Énergie et Travail 73
Le choix de l’infini comme point de référence est naturel dans ce cas-ci, parce que la force gravitationnelle
diminue suffisamment rapidement avec la distance. Ainsi, un objet infiniment éloigné
d’un autre peut être considéré comme libéré de son influence gravitationnelle et il est alors naturel
d’y associer le zéro de l’énergie potentielle.
Force électrique
La forme mathématique de la force électrique est très semblable à celle de la force gravitationnelle.
On voit immédiatement que l’énergie potentielle électrique d’une charges q 1 en présence d’une
charge q 2 fixe à l’origine est
U(r) = k q 1 q 2
(6.23)
r
Si les deux charges sont de même signe (q 1 q 2 > 0) il y a répulsion et l’énergie potentielle augmente
quand r diminue. Au contraire, si les deux charges sont de signes opposés (q 1 q 2 < 0), il y a attraction
et l’énergie potentielle diminue quand r augmente.
6.3 Potentiel gravitationnel
Récrivons l’expression (6.21) pour l’énergie potentielle d’une particule de masse m au point r en
présence d’une masse m 1 située au point r 1 :
U(r) = −G mm 1
|r − r 1 |
(6.24)
En vertu du principe de superposition, cette expression se généralise immédiatement au cas de N
masses m i situées aux positions r i :
U(r) = −G
N∑
i=1
mm i
|r − r i |
(6.25)
Définissons maintenant le potentiel gravitationnel V (r) comme l’énergie potentielle gravitationnelle
U(r) divisée par la masse m de la particule qui ressent la force :
V (r) ≡ 1 m U(r)
= −G
N∑
i=1
m i
|r − r i |
(6.26)
L’avantage de cette définition est que V (r) est indépendant de la particule ressentant la force et
est directement relié au champ gravitationnel g:
g(r) = −∇V (r) (6.27)
Potentiel gravitationnel d’un objet sphérique
Nous avons mentionné plus haut qu’un objet sphérique 4 exerce une force gravitationnelle identique
à celle qu’exercerait un point de même masse situé en son centre. Voici venu le temps de démontrer
cette assertion. Nous le ferons pour le potentiel gravitationnel et non pour le champ, ce qui est
4 Plus précisément, un objet dont la distribution de masse ne dépend pas des angles, mais seulement de la
coordonnée radiale r.