Document de cours de référence

50 5. Applications des lois du mouvement
Une conséquence extrême du déterminisme classique fut tirée par Pierre Simon de Laplace à la fin du XVIIIe
siècle : si un être d’une intelligence infinie (ci-après nommé le démon de Laplace) connaissait avec précision
les positions et les vitesses de toutes les particules de l’Univers, incluant bien sûr celles dont sont constitués
les cerveaux de tous les humains, cet être pourrait en principe calculer la position et les vitesses des mêmes
particules à des temps ultérieurs arbitrairement éloignés, ce qui implique que l’avenir de l’Univers, dans ses
moindres détails (les actions de chaque individu, etc.), est déterminé à l’avance. Ce déterminisme radical
est bien sûr en contradiction avec le sentiment de libre arbitre que chacun ressent, mais est accepté par
une proportion importantes de scientifiques comme allant de soi. Les travaux plus récents sur le chaos ont
apporté la nuance que les conditions initiales doivent être connues avec une précision infinie pour que les
prédictions classiques soient applicables à des temps éloignés. Comme une précision infinie implique des
distances extrêments petites, elle est impossible à réaliser dans le cadre de la physique classique et nous
amène dans celui de la physique quantique. Dès lors, la notion de déterminisme est beaucoup plus subtile
car la mécanique quantique fait intervenir la notion d’observateur et d’appareil de mesure et l’application de
ces notions à l’Univers considéré comme un tout semble à première vue problématique. Donc le déterminisme
radical est une position envisageable philosophiquement, mais difficile à défendre physiquement.
5.1 Projectiles
Considérons une particule en mouvement dans un champ gravitationnel uniforme, comme l’est
approximativement celui à la surface de la Terre. Choisissons nos axes cartésiens de sorte que
g = −gẑ et que la vitesse initiale de la particule soit dans le plan xz (l’origine est placée à la
position initiale de la particule). On écrit donc
où v 0 est la grandeur de la vitesse initiale et θ est l’angle de tir.
v 0 = v 0 (ˆx cos θ + ẑ sin θ) (5.3)
Les équations du mouvement sont
¨r = g
ou
⎧
⎪⎨ ẍ = 0
ẍ = 0
⎪⎩
¨z = −g
(5.4)
Cette équation simple a déjà été étudiée à la section 2.3. Reprenons rapidement le calcul ici. Une
première intégration donne
v(t) = gt + v 0 (5.5)
alors qu’une deuxième intégration (en tenant compte de la condition initiale r(0) = 0) donne
r(t) = 1 2 gt2 + v 0 t (5.6)
Une fois obtenue la solution des équations du mouvement sous forme paramétrique (c.-à-d. x et z
en fonction de t) on peut aussi s’intéresser à la trajectoire de la particule, c.-à-d. exprimer z en
fonction de x, en éliminant t. Comme v 0 t = x/ cos θ, ceci donne simplement
Il s’agit de l’équation d’une parabole.
z(x) = x tan θ −
g
2v 2 0 cos2 θ x2 (5.7)