Document de cours de référence

9. Moment cinétique et rotation des corps 155
Problème 9.12
Supposons qu’une version ‘économique’ de la station spatiale ait été
mise en orbite. Elle est constituée de deux modules identiques de masse
m, reliés l’un à l’autre par un long filin de longueur L. L’ensemble
tourne à une vitesse angulaire ω par rapport au milieu du filin (le
centre de masse), ce qui cause une gravité artificielle dans chacun des
modules. On peut ici négliger l’influence de la Terre, de sorte que le
référentiel de la station est approximativement inertiel.
m
ω
L
m
a) Quelle est la tension du filin, en fonction de m, L et ω?
b) Par accident, les fusées d’appoint de l’un des modules se mettent en marche, à puissance maximale, pendant
un très court laps de temps, donnant un module une impulsion supplémentaire P dans le sens de sa vitesse à
ce moment-là. Décrivez le mouvement subséquent de la station : donnez la vitesse V du centre de masse de
la station, en supposant qu’elle était nulle au départ (on se place dans le référentiel initial de la station) et la
nouvelle vitesse angulaire ω ′ , si elle est différente de ω.
Problème 9.13
Au baseball, lorsqu’un batteur frappe la balle, il doit instinctivement
choisir le bon point d’impact P pour ne pas sentir une
y
trop grande réaction du bâton sur ses mains. Dans ce problème,
nous idéalisons un peu cette situation et supposons que l’impact
de la balle se produit au point P, à une distance b du centre de
z x
masse C, alors que le bâton est tenu au point A, à une distance
a du centre de masse. On écrit le moment d’inertie du bâton A
C P
par rapport à un axe (sortant de la page) passant par C comme
I 0 = Mk 2 , où k est le rayon de gyration du bâton. Trouvez la
relation entre a, b et k pour que la réaction du bâton au point A
a
b
soit nulle. Indice : supposez que la bâton est dans l’espace, sans que personne le tienne, et que la balle entre en
collision avec lui au point P. Après la collision, le bâton aura un mouvement de translation et un mouvement
de rotation par rapport à son centre de masse. Utilisez la conservation de la quantité de mouvement et du
moment cinétique pour déterminer la position du point A dont la vitesse sera nulle immédiatement après la
collision. Expliquez pourquoi c’est à ce point que le batteur devrait tenir le bâton.
Problème 9.14
Une boule de billard de rayon R roule sans glisser sur le tapis et rebondit
sur le bord de la table, où elle percute un bourrelet à une hauteur h.
Quelle doit être la valeur de h pour que la boule rebondisse sans glisser le
moindrement sur la surface de la table? Vous devez supposer que la force
exercée par le bourrelet sur la boule est horizontale.
Indice : la force F exercée par le bourrelet sur la boule dépend du temps
d’une manière compliquée, mais cela n’a pas d’importance puisque c’est
l’impulsion donnée à la boule par le bourrelet qui compte. De même, le
moment cinétique donné à la boule par le bourrelet est proportionnel à
cette impulsion.
R
h
Problème 9.15
Les phénomènes en jeu au billard peuvent assez bien se comprendre une fois qu’on tient compte de la rotation
des boules et du frottement avec le tapis. Considérons un cas très simple : la boule blanche roule sans
glisser, à une vitesse v 0 , et entre en collision avec une autre boule initialement au repos. Pour simplifier, nous
supposerons que le paramètre d’impact est nul, de sorte que le mouvement de translation des deux boules
s’effectue en une dimension. Cependant, le processus de collision est si rapide, qu’il n’affecte que les vitesses
des boules, sans affecter de manière immédiate leurs vitesses angulaires, de sorte qu’immédiatement après la
collision, les deux boules glissent sur le tapis (la condition de roulement n’est pas satisfaite). En supposant
une force de frottement dynamique f au contact du tapis et des boules, obtenez une expression pour les
vitesses finales des deux boules (v ′ et v ′′ ), après que le frottement ait fait son oeuvre, et calculez la fraction