Document de cours de référence

11. Relativité restreinte 201
de la quadrivitesse dans un référentiel S, et (u ′0 , u ′1 , 0, 0) les composantes de la même quadrivitesse
dans un référentiel S ′ (la particule se déplace dans la direction x). Comme plusieurs vitesses
interviennent dans les manipulations suivantes, on introduit la notation suivante :
β V = V c
γ V =
1
√
1 − β
2
V
(11.76)
et pareillement pour γ v . Selon les règles de transformation (11.65), on trouve
Comme u 0 = cγ v et u 1 = vγ v , ceci devient
u ′0 = γ V (u 0 − β V u 1 ) u ′1 = γ V (u 1 − β V u 0 ) (11.77)
u ′0 = cγ v γ V (1 − β V β v ) u ′1 = γ v γ V (v − V ) (11.78)
et donc la vitesse de la particule dans le référentiel S ′ est
v ′ = c u′1
u ′0 =
v − V
1 − V v
c 2 (11.79)
ce qui coïncide bien avec la première des équations (11.44). La transformation des autres composantes
se trouve de manière semblable.
11.11 Quantité de mouvement et énergie
Nous avons vu que la loi de Newton F = ma est invariante par transformation de Galilée. Or,
puisque la transformation de Galilée a été remplacée par la transformation de Lorentz, il faut
également modifier la loi de Newton si on désire qu’elle demeure valable dans tous les référentiels
inertiels. En fait, nous écrirons toujours la loi de Newton comme F = ṗ. C’est la définition de la
quantité de mouvement p qui va changer.
On sait que, lors d’une collision élastique, la quantité de mouvement et l’énergie sont conservées.
Nous allons voir que ceci est impossible dans le cadre de la théorie de la relativité si on garde les
définitions p = mv et K = 1 2 mv2 , et qu’il faut plutôt utiliser les expressions suivantes :
p =
mv
√
1 − v2 /c 2 (11.80)
E =
mc 2
√
1 − v2 /c 2 (11.81)
où K = E − mc 2 .
Pour démontrer l’incompatibilité de la formule p = mv avec la relativité, considérons le processus
de collision illustré à la Fig. 11.5. Deux particules identiques entrent en collision à la même vitesse
v, à un angle de 45 ◦ par rapport à l’horizontale, dans le référentiel S, et émergent de cette collision
toujours avec le même angle. L’impulsion totale des deux particules est nulle, car S est le référentiel
du centre de masse du système. Déplaçons-nous maintenant dans un référentiel S ′ se déplaçant à