Document de cours de référence

8. Mouvement dans un champ de force central 129
Problème 8.12
a) La vitesse d’insertion v ins. d’un satellite artificiel est définie comme la vitesse de ce satellite lorsqu’il est
en orbite circulaire autour de la Terre. Démontrez que
v ins. = 1 √
2
v lib.
où v lib. est la vitesse de libération de ce satellite lorsqu’il se trouve sur la même orbite.
b) Un satellite est en orbite circulaire de rayon R 1 et on désire l’envoyer en orbite circulaire de rayon R 2
(R 2 > R 1 ). Pour ce faire, on donne au satellite un supplément d’énergie cinétique ∆K au point A pour qu’il
quitte son orbite circulaire et suive une orbite elliptique telle que sa distance maximum est égale à R 2 , lorsqu’il
parvient au point B (voir la figure). Une fois au point B, on lui donne un autre supplément d’énergie cinétique
∆K ′ pour qu’il adopte une orbite circulaire de rayon R 2 . Montrez que le supplément d’énergie ∆K à donner
au point A est
∆K = GMm R 2 − R 1
2R 1 R 2 + R 1
Indice : comparez l’énergie totale du satellite avant et après le supplément.
B
R 1
A
R 2
Problème 8.12
Problème 8.13
Un projectile est lancé à une vitesse initiale v 0 et à un angle ψ avec la
verticale. On s’intéresse à la hauteur maximale h atteinte par l’objet, en
négligeant complètement la résistance de l’air ou la rotation de la Terre
(on peut remplacer la Terre par la Lune, si on veut absolument justifier
cette approximation). Cependant, v 0 est si grand que l’objet s’éloigne
appréciablement de la surface et qu’il faut tenir compte de la variation
du champ gravitationnel en fonction de l’altitude. La trajectoire de
l’objet est en fait une portion d’ellipse, avec le centre de la Terre au
foyer. On note le rayon de la Terre R et sa masse M.
a) Démontrez que la hauteur maximale h atteinte par l’objet est donnée
par :
h
R = γ sin 2 ψ
√
− 1 (8.79)
1 − 1 − γ(2 − γ) sin 2 ψ
R
ψ v 0
h