Document de cours de référence

14 1. Rappels sur les vecteurs
triple des vecteurs?
d) Calculez l’angle entre deux faces du tétraèdre (c’est-à-dire l’angle entre deux vecteurs respectivement
perpendiculaires à ces deux faces).
Problème 1.6
Considérons un octaèdre : un polyèdre régulier à 8 faces et 6
sommets. Les six sommets sont désignés par les lettres A à E et
O. Toutes les faces sont des triangles équilatéraux identiques.
Le polygone OACB est un carré. On place l’origine à O et on
oriente les axes x et y le long des segments OA et OB, comme
illustré. Supposons que la longueur d’un côté de l’octaèdre est
une constante a. Les vecteurs-position des différents sommets
seront désignés par les symboles A à E (autrement dit, on note
A = −→ OA, etc.)
a) Exprimez les vecteurs D et E en fonction des vecteurs unitaires
ˆx, ŷ, ẑ.
b) Les 3 vecteurs A, B et D forment une base dans R 3 . Démontrez ce fait et exprimez le vecteur E comme
une combinaison linéaire de ces trois vecteurs de base.
c) Calculez la distance entre les points D et E.
d) Calculez l’aire de l’une des faces de l’octaèdre, ainsi que la surface totale de l’octaèdre, en utilisant le
produit vectoriel.
e) Calculez l’angle entre le triangle ODB et le plan xy, ainsi que l’angle entre le segment OD et le plan xy.
f) Calculez le volume de l’octaèdre en vous aidant du produit triple.
g) Supposons maintenant que l’octaèdre soit déformé par une contraction uniforme des longueurs par un
facteur α < 1 dans la direction z (c’est-à-dire le long du segment ED). Autrement dit, après contraction,
l’octaèdre n’est plus régulier : il est aplati. Quels sont alors (i) le nouveau volume et (ii) la nouvelle surface
totale de l’octaèdre?
y
B
O
E
D
C
A
x