Document de cours de référence

62 5. Applications des lois du mouvement
Dans cette solution, la force électrique compense exactement la force magnétique, de sorte que la
force totale sur la particule est nulle et celle-ci se déplace à une vitesse constante.
Dans le but de trouver la solution générale aux équations (5.53), procédons à un léger changement
de variables :
v x = η x
v y = η y − E B
En fonction de ces variables, les équations (5.53) deviennent
(5.55)
˙η x = ω c η y ˙η y = −ω c η x (5.56)
La solution à ces équations est la même que dans la section précédente :
η x = v 1 cos(ω c t + φ) η y = −v 1 sin(ω c t + φ) (5.57)
où v 1 et φ sont des constantes d’intégration. En retournant aux variables v x et v y , on trouve
v x (t) = v 1 cos(ω c t + φ)
v y (t) = −v 1 sin(ω c t + φ) − E B
(5.58)
La condition initiale v(0) = 0 fixe les constantes v 1 et φ:
0 = v 1 cos(φ)
=⇒
φ = −π/2
(5.59)
0 = v 1 sin φ + E B
v 1 = E B
les composantes de la vitesse sont alors
v x (t) = E B sin ω c t v y (t) = E B (cos ω ct − 1) (5.60)
On intègre par rapport au temps pour trouver la position r(t):
x(t) = − E
ω c B cos ω c t + x(0)
y(t) =
La condition initiale r(0) = 0 fixe les constantes x(0) et y(0):
(5.61)
E
ω c B [sin ω c t − ω c t] + y(0)
x(t) =
E
ω c B (1 − cos ω ct)
y(t) =
E
ω c B (sin ω ct − ω c t)
(5.62)
La trajectoire décrite par ces équations est une cycloïde, la courbe décrite par un point sur la
circonférence d’un disque qui roule sans glisser sur l’axe des y.
Problème 5.1
Démontrez l’éq. (5.9), donnant la portée d’un projectile lancé d’une hauteur h au-dessus du sol, en fonction
de l’angle de tir θ.