Document de cours de référence

10. Référentiels accélérés 163
Le but de cet exercice est de comparer les accélérations d’un objet mesurées dans les deux
référentiels. Pour ce faire, il faut appliquer le relation (10.11) deux fois de suite :
( ) dvi
a i =
dt
i
( )
d
=
dt [v r + ω ∧ r] i
( )
(10.13)
dvr
= + ω ∧ v
dt
i (ω est constant)
i
( ) dvr
= + ω ∧ v
dt
r + ω ∧ (v r + ω ∧ r)
Ce qui donne finalement
r
a i = a r + 2ω ∧ v r + ω ∧ (ω ∧ r) (10.14)
Selon notre définition a i = a r + a 0 de l’accélération du référentiel, on trouve
a 0 = 2ω ∧ v r + ω ∧ (ω ∧ r) (10.15)
et la force d’inertie F 0 ressentie dans le référentiel tournant est alors
F 0 = −2mω ∧ v r − mω ∧ (ω ∧ r) (10.16)
Force centrifuge
Le deuxième terme de (10.16) est appelé force centrifuge:
F cent. = −mω ∧ (ω ∧ r) (10.17)
Cette force d’inertie ne dépend que de la distance entre l’objet et l’axe de rotation. En effet,
décomposons r en composantes parallèle et perpendiculaire à ω : r = r ‖ + r ⊥ . Comme ω · r ⊥ = 0
et ω ∧ r ‖ = 0, on trouve, d’après l’expression (1.14) du double produit vectoriel,
−mω ∧ (ω ∧ r) = −mω ∧ (ω ∧ r ⊥ )
= m { ω 2 r ⊥ − (ω · r ⊥ )ω }
= mω 2 r ⊥
(10.18)
La grandeur r ⊥ du vecteur r ⊥ est la distance entre le point r et l’axe de rotation du référentiel.
Si l’objet est stationnaire dans S r , c’est-à-dire si v r = 0, alors v i = ω ∧ r = ω ∧ r ⊥ ou, en grandeur,
v i = ωr ⊥ (10.19)
de sorte que la grandeur de la force centrifuge peut s’exprimer aussi comme
F cent. = mv2 i
r ⊥
(v r = 0) (10.20)
Il est bien important de distinguer les épithètes centrifuge et centripète. Techniquement, une
force est qualifiée de centripète si elle est dirigée vers le centre d’un cercle et une telle force est
généralement réelle. Par contre, la force centrifuge est une force d’inertie qui n’a de sens que dans