Document de cours de référence

46 4. Les forces macroscopiques
Problème 4.4
Considérez les systèmes de poulies illustrés. Dans les deux cas,
la force F est celle qu’une personne doit fournir et la force R (la
résistance) est la force exercée par la masse qu’on doit soulever,
ou par une charge quelconque.
a) En (A), la corde s’enroule autour de la poulie 1, puis de la
poulie 2, pour ensuite être amarrée au centre de la poulie 1, ellemême
fixée au plafond. La charge est suspendue au centre de
la poulie 2. Donnez, en la démontrant clairement, la grandeur
relative des forces F et R. Négligez (i) le frottement des poulies
sur leurs essieux et de la corde sur les poulies, (ii) le poids des
poulies et des cordes et (iii) le fait que la dernière partie de la
corde n’est pas exactement verticale.
F
R
1 1
b) En (B), la corde s’enroule successivement autour des poulies
1, 2, 3 et 4, pour s’amarrer au centre de la poulie 3. Les centres
F
des poulies 1 et 3 sont solidaires, de même que ceux des poulies
R
2 et 4. Refaites le même exercice qu’en a), avec les mêmes approximations.
Le dispositif (B) et ses généralisations à plus de poulies sont appelés palans et sont encore
vendus en quincallerie, quoiqu’ils soient moins courants que lors des beaux jours de la navigation à voile (ils
sont utilisés pour lever les vergues).
2
(A)
(B)
3
4
2
Problème 4.5
En général, les grandes routes sont inclinées latéralement dans les virages, dans le but de minimiser les risques
de dérapage. Quel doit être l’angle d’inclinaison optimal θ d’une route par rapport à l’horizontale dans un
virage ayant un rayon de courbure de 200m, si la vitesse moyenne des véhicules est de 100 km/h?
Problème 4.6
Une corde de masse m est suspendue entre deux poteaux,
comme illustré. La tangente à la corde sous-tend un angle θ
avec la verticale et les deux points de suspension sont à la même
hauteur. Il est clair dans ce cas que la tension de la corde varie
d’un point à un autre.
a) Calculez la tension T de la corde à l’un des points de suspension.
Exprimez votre résultat en fonction de m, g et θ.
b) Calculez la tension T 0 de la corde exactement à mi-chemin
entre les deux poteaux, c’est-à-dire à son point le plus bas.
m
θ
Problème 4.7
Considérons encore une fois la corde suspendue du problème précédent. Il s’agit ici de démontrer que la forme
adoptée par la corde à l’équilibre décrit un cosinus hyperbolique. Pour fixer les idées, plaçons l’origine au
point le plus bas de la corde (au milieu) et supposons que la corde a une densité linéaire λ (masse par unité
de longueur) et que la tension au bas de la corde est T 0 . Appelons y(x) la hauteur de la corde en fonction de
la coordonnée horizontale x.
a) Soit T (x) la tension de la corde vis-à-vis de la coordonnée x et ϕ(x) l’angle que fait la tangente à la corde
par rapport à l’horizontale à cet endroit. En travaillant sur un élément de corde s’étalant entre les coordonnées
x et x + dx (attention, la longueur de cet élément de corde n’est pas dx!) et en appliquant l’équilibre des
forces agissant sur cet élément, démontrez que
T (x) =
T 0
cos ϕ(x)
et que
d
λg
(T (x) sin ϕ(x)) =
dx
cos ϕ(x)