Document de cours de référence

11. Relativité restreinte 203
L’énergie cinétique n’est non nulle que si la vitesse de la particule est non nulle et elle coïncide
avec l’expression 1 2 mv2 quand la vitesse v est petite par rapport à c.
La raison qui nous force à utiliser les formes (11.80) et (11.81) de l’impulsion et de l’énergie est que
la conservation de ces quantités est maintenant valable dans tous les référentiels. Considérons un
processus de collision élastique dans lequel deux particules ont respectivement des quadrivecteurs
impulsion p 1 et p 2 avant la collision et des quadrivecteurs impulsion p 3 et p 4 après la collision. La
conservation de l’énergie et de l’impulsion s’écrit
p 1 + p 2 − p 3 − p 4 = 0 (11.87)
Le membre de droite de cette équation est un quadrivecteur. Si toutes ces composantes sont nulles
dans un référentiel, elles seront aussi nulles dans tout autre référentiel inertiel, en raison de la
transformation de Lorentz (11.65). Autrement dit, si l’énergie et l’impulsion sont conservées dans
un référentiel, elles seront aussi conservées dans tout autre référentiel. C’est le résultat recherché.
En substituant dans la transformation (11.65) la forme p = (E/c, p), on voit que les composantes de
l’impulsion et l’énergie E se transforment donc ainsi quand on passe du référentiel S au référentiel
S ′ :
p ′ x = p x
√ − V E/c2 E ′ = E − V p x
√
1 − V
2
/c 2 1 − V 2
/c 2
(11.88)
p ′ y = p y p ′ z = p z
Notons la relation suivante entre l’énergie et l’impulsion :
Cette relation provient de l’invariant
E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 (11.89)
p · p = m 2 u · u = m 2 c 2 (11.90)
Travail et énergie
L’expression (11.81) de l’énergie a été justifiée ci-haut en montrant que cette quantité est conservée
dans tous les référentiels lors de collisions élastiques. Donnons maintenant un argument
complémentaire, basé sur la relation présumée entre travail et énergie. Le théorème travail-énergie
affirme que le travail, défini comme l’intégrale définie
∫
W = F · dr
C
le long d’une trajectoire C, est la différence d’énergie cinétique entre la fin et le début du parcours.
Calculons cette intégrale, sans référence à une trajectoire précise, à l’aide de l’expression (11.80)
de la quantité de mouvement, et sachant que F = ṗ :
∫ ∫ ∫ dp
W = F · dr =
dt · r = dp · dr ∫
dt = dp · v
∫
= p · v −
∫
p · dv = p · v − m
v · dv
√
1 − v2 /c 2
mv 2 ∫
= √
1 − v2 /c − 1 2 2 m dv 2
√
1 − v2 /c = mv 2
(11.91)
√ 2 1 − v2 /c + mc2√ 1 − v 2 /c 2
2
mc 2
= √
1 − v2 /c 2