Document de cours de référence

86 6. Énergie et Travail
6.9 Annexe : notion de gradient
Considérons une fonction différentiable f(x, y, z) définie dans l’espace R 3 . On définit le gradient de
cette fonction, qu’on écrit ∇f, comme le vecteur formé par les dérivées partielles de cette fonction :
On emploie aussi la notation suivante pour le gradient :
∇f(r) = ∂f ∂f ˆx +
∂x ∂y ŷ + ∂f
∂z ẑ (6.77)
∂
f ≡ ∇f (6.78)
∂r
La différentielle df de la fonction f s’exprime comme suit en fonction du gradient :
Pour démontrer cette relation, un calcul explicite est effectué:
df(r) = ∇f · dr (6.79)
df = f(x + dx, y + dy, z + dz) − f(x, y, z)
= f(x, y + dy, z + dz) + ∂f(r) dx − f(x, y, z)
∂x
= f(x, y, z + dz) + ∂f(r)
∂x
dx + ∂f(r) dy − f(x, y, z)
∂y
= ∂f(r)
∂x
dx + ∂f(r) ∂f(r)
dy +
∂y ∂z
dz
= ∇f · dr
(6.80)
Dans ce calcul, nous avons évalué les dérivées partielles au point r, commettant ainsi une erreur
du deuxième ordre.
On définit la dérivée directionnelle de f comme sa dérivée dans une direction n:
f(r + εn) − f(r)
lim
ε→0 ε
(6.81)
D’après l’expression (6.79) pour la différentielle, cette dérivée directionnelle n’est autre que n · ∇f.
On en conclut que la direction du gradient est celle dans laquelle la fonction augmente le plus
rapidement. D’autre part, la dérivée directionnelle est nulle dans les directions perpendiculaires au
gradient.
Pour donner une image plus précise de cette notion, restreignons-nous à une fonction f(x, y) sur
le plan. On peut associer cette fonction à un relief dont l’altitude est donnée par z = f(x, y). Ce
relief peut être représenté graphiquement par des courbes de niveau, et le gradient est en tout
point perpendiculaire aux courbes de niveau et pointe dans la direction où l’altitude augmente le
plus rapidement.
Exemple. Soit la fonction f(x, y) = x 2 + y 2 . On calcule que
Les courbes de niveau sont des cercles centrés à l’origine.
∇f(x, y) = 2(xˆx + yŷ) = 2ρ ˆρ (6.82)