Document de cours de référence

114 8. Mouvement dans un champ de force central
Le deuxième terme du membre de droite est la section géométrique de la planète et le premier
est une correction qui est d’autant plus importante que v 0 est petit. Si v 0 = 0, alors l’objet sera
certainement capturé par la planète, alors que si v 0 → ∞, l’objet ne sera capturé que si il se dirige
en droite ligne vers la planète.
8.2 Potentiel central et orbites
Dans cette section nous allons montrer comment la conservation de l’énergie et du moment cinétique
nous permet de comprendre le mouvement d’un objet dans un champ de force central comme si
l’objet en question se déplaçait en une seule dimension, celle de la coordonnée radiale r.
Premièrement, écrivons l’énergie cinétique de l’objet en fonction des coordonnées (r, ϕ):
K = 1 2 mv2
= 1 2 m(ṙ2 + r 2 ˙ϕ 2 )
(
= 1 2 m ṙ 2 + J 2 )
m 2 r 2
(8.20)
= 1 2 mṙ2 + J 2
2mr 2
L’énergie totale, incluant l’énergie potentielle U(r) associée au champ de force central, est
E = 1 2 mṙ2 + J 2
+ U(r) (8.21)
2mr2 Le premier terme est K r , l’énergie cinétique radiale de l’objet. Le deuxième terme est l’énergie
cinétique associée au mouvement angulaire de l’objet. Au lieu d’associer cette formule à une particule
en mouvement dans un plan, on pourrait tout aussi bien l’associer à une particule se déplaçant
dans une seule direction, le long de l’axe des r, mais dont l’énergie potentielle serait maintenant le
potentiel effectif suivant :
U eff. (r) ≡ J 2
+ U(r) (8.22)
2mr2 Le premier terme de U eff. , impliquant le moment cinétique constant J, est appelé potentiel centrifuge.
Bien sûr, l’objet qui nous intéresse se déplace sur un plan, mais la conservation du moment
cinétique nous permet d’exprimer l’énergie cinétique angulaire en fonction de r et de lui donner
l’apparence d’une énergie potentielle. L’évolution de la coordonnée radiale r en fonction du temps
peut être déterminée à l’aide du potentiel effectif U eff. , comme si l’objet se déplaçait en une seule
dimension décrite par la coordonnée r, que son énergie cinétique était uniquement donnée par
K r = 1 2 mṙ2 et que son énergie potentielle était donnée par U eff. . Il s’agit bien sûr d’un artifice,
puisque U eff. contient à la fois de l’énergie potentielle et de l’énergie cinétique. C’est comme si on
observait l’objet à partir d’un référentiel tournant à la même vitesse angulaire que lui, sans que
cette vitesse angulaire soit nécessairement constante. L’évolution dans le temps de la coordonnée
radiale peut être obtenue à partir de la composante radiale de la force dans ce référentiel :
m¨r = − dU eff.
dr
= J 2
mr 3 − dU
dr
(8.23)
Le premier terme du membre de droite est la force centrifuge ressentie dans ce référentiel tournant
(cf Sect. 10.3). En effet, puisque J = mr 2 ˙ϕ, ce terme est
J 2
mr 3 = mr ˙ϕ2 (8.24)