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9. Moment cinétique et rotation des corps 147
de précession, de sorte qu’on peut négliger toute autre contribution au moment cinétique. Dans
cette approximation, le moment cinétique est J = Iωê, où ê est un vecteur unitaire dirigé le long
de l’axe du gyroscope, comme illustré. Le couple peut alors s’exprimer comme
N = −ΩJ ∧ ẑ , où Ω = mgh
Iω
(9.71)
Cette relation représente bien la direction et la grandeur du couple. Remarquons que si ω est
négatif, ce qui signifie que le gyroscope tourne sur lui-même dans la direction opposée de celle
illustrée, alors Ω et J changent de signe, ce qui laisse N inchangé, comme il se doit. Le théorème
du moment cinétique nous permet ensuite de déterminer le mouvement de l’axe de rotation :
dJ
dt
= −ΩJ ∧ ẑ (9.72)
Comme ˙J est perpendiculaire à J, la grandeur de J est constante : seule sa direction change. Cette
équation est identique à celle de la vitesse d’une particule chargée dans un champ magnétique
B = Bẑ :
dv
dt = q m v ∧ B = ω c v ∧ ẑ (9.73)
Dans ce cas, nous savons que la composante v z de la vitesse demeure constante, alors que la
composante horizontale v ⊥ décrit un cercle à la fréquence cyclotron ω c , dans le sens horaire si
ω c > 0. Ici, la solution est la même, sauf pour le sens de la précession (ω c est remplacé par −Ω) :
J = J z ẑ + J ⊥ (ˆx cos Ωt + ŷ sin Ωt) (9.74)
où J ⊥ = J sin ψ est la grandeur de la projection sur le plan xy du moment cinétique J et Ω, donné
plus haut, est la fréquence de précession du vecteur moment cinétique autour de la verticale.
Remarques :
1. Plus la toupie tourne rapidement sur elle-même, plus la précession est lente. En fait, la formule
ci-haut n’est valable que dans l’approximation ω ≫ Ω, ou encore ω 2 ≫ mgh/I. C’est le cas
d’une toupie dite rapide. En effet, dans notre démonstration, nous avons négligé une partie du
moment cinétique : celui associé à la précession elle-même, et donc l’axe de rotation instantané
de l’objet n’est pas exactement son axe de symétrie. Nous avons aussi négligé la nutation de
la toupie (cf section 10.7), c’est-à-dire le fait que le moment cinétique n’est pas exactement
parallèle à l’axe instantané de rotation.
2. La fréquence de précession est indépendante de l’angle d’inclinaison ψ par rapport à la verticale.
Précession des équinoxes
L’un des plus anciens exemples connus de mouvement de précession est celui de la Terre elle-même.
En effet, le moment cinétique intrinsèque de la Terre effectue un mouvement de précession autour
du pôle de l’écliptique, un tour complet étant effectuée en 25 780 ans, ce qui correspond à un
déplacement angulaire de 50, 26 ′′ par année. Ce mouvement se manifeste par un déplacement lent
du point vernal, c’est-à-dire du point de rencontre entre l’écliptique (la trajectoire apparente du
Soleil sur la voûte céleste) et l’équateur céleste. C’est bien sûr l’équateur céleste qui, comme l’axe
de la Terre, change d’orientation au cours du temps. Ce déplacement du point vernal, ou précession
des équinoxes, fut noté dès le IIème siècle avant notre ère par l’astronome grec Hipparque, à la
suite d’observations minutieuses et de comparaisons avec des observations effectuées un siècle et
demi auparavant. La conséquence astronomique la plus immédiate de la précession des équinoxes
est que l’étoile polaire n’indique pas le pôle nord terrestre de manière permanente, mais seulement