Document de cours de référence

70 6. Énergie et Travail
Énergie potentielle gravitationnelle
Considérons par exemple une particule se déplaçant uniquement le long de l’axe vertical z, en
présence du champ gravitationnelle uniforme −g (composante en z). D’après la définition (6.1), on
trouve ici
∫
U(z) = − (−mg)dz = mgz + cst. (6.5)
En fixant la constante d’intégration à zéro, l’énergie conservée est alors
(
E = 1 2 mv2 + mgz v = dz )
dt
(6.6)
Comme exemple d’application, considérons un objet lancé du sol (z = 0) à la verticale avec une
vitesse initiale v 0 . On demande de déterminer la hauteur maximale h atteinte par l’objet. L’énergie
de l’objet est au départ (z = 0) purement cinétique : E = 1 2 mv2 0 . Au sommet de sa course (z = h)
l’énergie est purement potentielle car v = 0 à cet endroit et donc E = mgh. Comme l’énergie est
toujours la même, on trouve
1
2 mv2 0 = mgh =⇒ h = v2 0
2g
(6.7)
Énergie potentielle élastique
Considérons maintenant un ressort de constante k susceptible d’étirement ou de compression dans
la direction x et choisissons l’origine au point d’équilibre du ressort. La force exercée sur une masse
m attachée au ressort est alors F (x) = −kx (le signe − vient de ce que la force s’oppose au
déplacement). La définition (6.1) entraîne alors
∫
U(x) = − (−kx)dx = 1 2 kx2 (6.8)
et l’énergie totale de la particule est
E = 1 2 mv2 + 1 2 kx2 (6.9)
Supposons maintenant que le ressort soit comprimé d’une longueur d et qu’il soit ensuite relâché.
On désire connaître la vitesse maximale v max de l’objet lors de son oscillation. Il suffit alors d’égaler
l’énergie de l’objet au maximum de la compression, alors que v = 0, à l’énergie de l’objet lorsque
x = 0, quand l’énergie potentielle est minimale et l’énergie cinétique maximale. On trouve alors
√
k
E = 1 2 kd2 = 1 2 mv2 max =⇒ v max = d = ωd (6.10)
m
où ω est la fréquence d’oscillation naturelle du ressort.
6.2 Dimension supérieure à un
À la sous-section précédente, nous avons démontré que si une particule se déplaçant en une seule
dimension subit une force qui ne dépend que de la position de la particule, alors on peut définir
l’énergie potentielle (6.1) et l’énergie totale (6.3) est conservée. Nous allons maintenant généraliser
ce résultat au cas d’une particule se déplaçant en plus d’une dimension, en particulier en trois
dimensions.