Document de cours de référence

9. Moment cinétique et rotation des corps 135
Couple dans un champ gravitationnel uniforme
Si la seule force externe en présence provient d’un champ gravitationnel uniforme g, alors le couple
total s’exerçant sur le système est
N = ∑ i
r i ∧ m i g
=
{ ∑
i
m i r i
}
∧ g
(9.16)
= MR cm ∧ g
Autrement dit, la gravité produit un couple sur l’objet comme si toute la masse de l’objet était
concentrée en son centre de masse. Ceci n’est valable que parce que le champ gravitationnel est le
même partout dans l’objet. Autrement dit, pour fins de calcul du couple, on peut considérer que
la force gravitationnelle agit à la position du centre de masse, pourvu que g soit uniforme.
Conservation du moment cinétique
La loi de conservation du moment cinétique est très simple : le moment cinétique est conservé
si le couple est nul. Cependant, de quel moment cinétique s’agit-il? Évalué à quel point? Tout
dépend du contexte. Considérons par exemple un objet rigide qu’on lance dans les airs et dont
le centre de masse suit une trajectoire parabolique sous l’influence de la gravité g uniforme. Le
moment cinétique orbital de cet objet n’est manifestement pas conservé. Cependant, son moment
cinétique intrinsèque J cm est conservé (on néglige la résistance de l’air) car le couple produit par
la gravité s’annule lorsqu’il est évalué au centre de masse : nous avons vu ci-haut que ce couple est
N = MR cm ∧ g et le vecteur R cm s’annule si l’origine est au centre de masse. Ce n’est donc pas le
moment cinétique total qui est conservé dans ce cas, mais uniquement la partie intrinsèque.
Résumons donc les circonstances où un moment cinétique est conservé:
1. Le moment cinétique orbital est conservé si l’objet se déplace dans un champ de force central
et si le moment cinétique est évalué au centre d’attraction (placé habituellement à l’origine).
2. Le moment cinétique total d’un système est conservé si le couple total (toujours produit par
des forces externes au système) est nul. Cela est certainement le cas si le système est isolé.
3. Le moment cinétique intrinsèque J cm est conservé (même si le moment cinétique total ne l’est
pas) si le couple évalué au centre de masse (N cm ) est nul. C’est le cas d’un objet rigide en chute
libre dans un champ gravitationnel uniforme.
9.2 * Invariance par rotation et conservation du moment cinétique
La relation (9.8) nous dit que le moment cinétique total d’un système fermé est conservé en l’absence
de forces externes. Tout comme la conservation de la quantité de mouvement est attribuée à la
troisième loi de Newton, elle-même une conséquence de l’invariance par translation, la conservation
du moment cinétique est une conséquence de la direction centrale des forces (Eq. (9.6)) qui, elle,
est une conséquence de l’invariance par rotation.
L’invariance par rotation signifie que l’espace est isotrope, c’est-à-dire que ses propriétés sont les
mêmes dans toutes les directions : il n’y a pas d’axe privilégié par rapport aux autres. Ceci signifie
que le potentiel d’interaction d’un système de particules ne dépend pas de l’orientation absolue
des positions des particules, mais seulement de leur orientation relative. Exprimons ceci en langage
mathématique. Définissons un opérateur de rotation Ω qui transforme un vecteur r en un autre