Document de cours de référence

8. Mouvement dans un champ de force central 125
m
r 1
R cm
r
M
+
O
r 2
Figure 8.9. Positions r 1 et r 2 de deux corps, du centre de masse R cm et position relative r.
relative des deux objets. On peut alors exprimer r 1 et r 2 en fonction de r et du vecteur centre de
masse R cm des deux objets :
r = r 1 − r 2
1
R cm =
M + m (mr 1 + Mr 2 ) =⇒
D’autre part, les équations du mouvement pour les deux objets sont
¨r 1 = 1 m F (r)ˆr
r 1 = R cm +
M
M + m r
r 2 = R cm −
m
(8.72)
M + m r
¨r 2 = − 1 M F (r)ˆr (8.73)
où r = |r| et où ˆr est le vecteur unitaire dans la direction de r. En soustrayant ces deux équations,
on trouve
d 2
( 1
dt 2 (r 1 − r 2 ) = ¨r = m + 1 )
F (r)ˆr (8.74)
M
On définit ensuite la masse réduite µ :
et on trouve simplement
µ = mM
m + M ou 1
µ = 1 m + 1 M
(8.75)
µ¨r = F (r)ˆr (8.76)
Cette équation signifie que le problème des deux particules se réduit au problème d’une seule
particule “effective”, de position r et de masse µ, subissant une force F (r) qui ne dépend que de la
grandeur de r. Autrement dit, le cas d’un centre d’attraction mobile se réduit à celui d’un centre
fixe, pourvu que la masse de l’objet étudié (m) soit remplacée par la masse réduite µ. Dans le cas
d’un centre d’attraction infiniment massif (M → ∞), ceci revient à la façon dont nous avons traité
le problème plus haut (µ → m). Notons que µ est toujours plus petit que la plus petite des deux
masses (m ou M), d’où son nom de masse réduite. Dans le cas où les deux objets ont la même
masse (m = M), la masse réduite vaut la moitié de m (µ = m/2).
Notons que l’énergie E et le moment cinétique J du problème équivalent à un corps coïncident
avec l’énergie totale et le moment cinétique total des deux corps. Seule la masse diffère.
Donc, en toute rigueur, la troisième loi de Kepler devrait s’écrire ainsi :
T 2 = (2π) 2 µ k a3 =
(2π) 2
G(M + m) a3 (8.77)