Document de cours de référence

7. Applications de la conservation de la quantité de mouvement 105
système. De plus, l’énergie potentielle ne peut pas dépendre du choix de l’origine, qui est tout-àfait
arbitraire. En effet, l’espace ne comporte pas de point de référence préférentiel : on dit qu’il
est homogène. Ceci signifie que U reste inchangé lorsqu’on effectue une translation simultanée de
toutes les coordonnées par un vecteur b :
U(r 1 + b, r 2 + b, . . . , r N + b) = U(r 1 , r 2 , . . . , r N ) (7.55)
La conséquence de cette invariance par translation est que la force totale sur le système est nulle.
En effet, calculons la dérivée du membre de gauche par rapport au vecteur b; on trouve
∂U
N
∂b = ∑ ∂U
= −
∂r i
i=1
N∑
F i (7.56)
où F i est la force exercée sur la i me particule, qui dérive de U. Or, comme le membre de droite de
(7.55) est indépendant de b, la dérivée (7.56) est forcément nulle, et donc la force totale aussi, ce
qui implique la conservation de la quantité de mouvement totale du système.
Le fait que la force totale exercée sur un système isolé est nulle a été démontré à la section 3.5
en utilisant la troisième loi de Newton : les forces internes s’annulent par paires. Or, la troisième
loi de Newton peut être vue comme une conséquence du principe d’invariance par translation. En
effet, la façon la plus simple de respecter l’invariance par translation est que U ne dépende que des
différences de coordonnées r i − r j , comme dans le cas de l’énergie potentielle gravitationnelle :
i=1
U = −G ∑ i