Document de cours de référence

11. Relativité restreinte 191
Cette invariance se démontre aisément : il suffit de substituer la transformation de Lorentz dans
l’expression c 2 t ′2 − x ′2 (nous savons déjà que y ′ = y et z ′ = z) :
c 2 t ′2 − x ′2 = γ 2 (ct − βx) 2 − γ 2 (x − βct) 2
= γ 2 [ c 2 t 2 + β 2 x 2 − 2ctβx − x 2 − β 2 c 2 t 2 + 2ctβx ]
(11.33)
= γ 2 (1 − β 2 )(c 2 t 2 − x 2 )
= c 2 t 2 − x 2
Plus généralement, étant donnés deux événements E 1 et E 2 de coordonnées d’espace-temps (r 1 , ct 1 )
et (r 2 , ct 2 ), on définit l’intervalle s 2 entre les deux événements comme
s 2 = c 2 (t 2 − t 1 ) 2 − (r 2 − r 1 ) 2 (11.34)
cet intervalle, ainsi que son expression mathématique en fonction des coordonnées et du temps,
sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels, et ne dépendent que des deux événements E 1 et
E 2 .
À la différence de la distance au carré l 2 dans le plan cartésien, l’intervalle, malgré qu’il soit noté
s 2 , peut être négatif ou positif. En fait, on distingue les trois cas suivants :
1. Intervalle de genre lumière : s 2 = 0. Dans ce cas, les deux événements séparés par cet intervalle
peuvent être reliés par un signal lumineux direct : L’événement 1 peut être l’émission d’un signal
lumineux et l’événement 2 peut être la réception de ce signal, à un temps ultérieur. L’ensemble
des événements séparés de l’origine par un intervalle de genre lumière forment un cône, appelé
cône de lumière, illustré à la fig. 11.3.
2. Intervalle de genre temps : s 2 > 0. Dans ce cas, les deux événements séparés par cet intervalle
peuvent être en relation causale : l’un des deux se produit après l’autre et ce, dans tous les
référentiels. On peut toujours trouver un référentiel dans lequel les deux événements se produisent
à la même position, mais à des temps différents. Par contre, si l’un des deux événements
est ultérieur à l’autre dans un référentiel, il le sera dans tous les référentiels, et vice-versa.
3. Intervalle de genre espace : s 2 < 0. Dans ce cas, les deux événements séparés par cet intervalle ne
peuvent être en relation causale : on peut toujours trouver un référentiel dans lequel 1 précède
2 et un autre référentiel dans lequel 2 précède 1, ainsi qu’un troisième référentiel dans lequel ils
sont simultanés.
11.6 Contraction des longueurs
Il est notoire que la théorie de la relativité prévoie que les objets en mouvement sont contractés.
Voyons comment cette affirmation se déduit de la transformation de Lorentz (11.20). Considérons
un objet de longueur L 0 au repos dans le référentiel S ′ . Cet objet se déplace donc à une vitesse
V = V ˆx par rapport à S. Sa longueur dans S doit être définie comme la différence des coordonnées
associées aux deux extrémités de l’objet, lorsqu’elles sont mesurées au même moment dans S, disons
au temps t. Soit (x 1 , t) et (x 2 , t) les ‘coordonnées d’espace-temps’ associées à ces deux mesures dans
S. Dans le référentiel S ′ , ces deux mesures correspondent plutôt aux coordonnées
(x ′ 1, t ′ 1) = γ(x 1 − V t, t − V x 1 /c 2 ) (x ′ 2, t ′ 2) = γ(x 2 − V t, t − V x 2 /c 2 ) (11.35)
La différence x ′ 2 − x′ 1 est bien sûr la longueur au repos de l’objet, puisque celui-ci est stationnaire
dans S ′ . Donc
L 0 = x ′ 2 − x′ 1 = γ(x 2 − V t − x 1 + V t) = γ(x 2 − x 1 ) = γL (11.36)