Document de cours de référence

8. Mouvement dans un champ de force central 121
L’équation de la courbe se ramène alors à
x ′2
r 2 0
(1 − e 2 ) 2 +
Considérons mainenant les trois cas possibles :
1. e < 1. Dans ce cas, on peut définir
y 2
r 2 0
(1 − e 2 )
= 1 (8.55)
a = r 0
1 − e 2 b =
r 0
√
1 − e
2
c = ae = √ a 2 − b 2 (8.56)
et l’équation de la courbe correspond bien à celle d’une ellipse centrée en x ′ = 0, y = 0 :
x ′2
a 2 + y2
b 2 = 1 (8.57)
Le paramètre a est alors le demi grand axe de l’ellipse et b est le demi petit axe. En particulier,
si e = 0 (correspondant à l’énergie minimale E = E 0 ) la courbe est un cercle de rayon a = b.
2. e > 1. On définit plutôt
a = r 0
e 2 − 1
b =
r 0
√
e2 − 1
(8.58)
et l’équation de la courbe correspond bien à celle d’une hyperbole à deux branches centrée en
x ′ = 0, y = 0 :
x ′2
a 2 − y2
b 2 = 1 (8.59)
L’hyperbole admet une asymptote à un angle ϕ 0 = ±arccos(−1/e) par rapport au foyer.
3. e = 1. Il s’agit du cas limite entre une ellipse et une hyperbole. On ne peut utiliser l’Éq. (8.55)
directement car on y a divisé par 1 − e 2 . Retournons plutôt à l’expression (8.52). On trouve
alors
x = − y2
+ r 0
(8.60)
2r 0 2
C’est l’équation d’une parabole, tournée d’un angle droit par rapport à sa définition habituelle
(x en fonction de y au lieu du contraire). L’origine x = y = 0 est le foyer de la parabole.
8.5 Orbites elliptiques
À la section précédente nous avons démontré qu’un objet d’énergie totale négative décrit autour
du centre d’attraction une orbite elliptique. Dans cette section nous allons donner un peu plus de
détails sur les orbites elliptiques, en particulier leur spécification dans l’espace.
Troisième loi de Kepler
La troisième loi de Kepler stipule que le rapport du carré de la période au cube du demi grand-axe
est le même pour toutes les planètes. En effet, si on intègre la loi des aires (8.10) sur le temps, on
trouve
∫ dS
dt dt = S =
J
2m T (8.61)