Document de cours de référence

9. Moment cinétique et rotation des corps 151
Ce mouvement de nutation a aussi été observé sur la Terre dans son ensemble, même si on ne
peut pas exactement considérer la planète comme un objet rigide. On a pu observé que l’axe du
pôle nord n’est pas constant, mais a un mouvement de nutation dont l’amplitude est relativement
petite (un quinzaine de mètres à la surface du pôle nord; voir la section 10.7 plus bas).
Axes fixes à l’objet
Il est souvent commode d’utiliser un système d’axes fixes par rapport à l’objet, c’est-à-dire qui
tourne avec l’objet, et dont l’origine est au centre de masse de l’objet. Bien sûr, ces axes définissent
un référentiel tournant et donc non inertiel. Du point de vue ces axes, l’objet n’est pas en rotation :
c’est l’environnement qui l’est. Un vecteur constant du point de vue du laboratoire est en rotation
du point de vue de ces axes. De ce point de vue, le moment cinétique J est donc toujours constant
en grandeur, mais pas en direction. L’avantage de ce système d’axes est que les composantes de
la matrice d’inertie sont constantes dans le temps. En particulier, étant donné que la matrice
d’inertie est symétrique (c’est-à-dire I xy = I yx , etc.), elle peut être diagonalisée, c’est-à-dire qu’il
existe un système de trois axes perpendiculaires, liés à l’objet, tels que la matrice d’inertie calculée
en utilisant ces axes est diagonale :
⎛
I = ⎝ I ⎞
1 0 0
0 I 2 0 ⎠ (9.81)
0 0 I 3
Les trois coefficients I 1,2,3 sont appelés moments d’inertie de l’objet. Les moments d’inertie caractérisent
la façon dont la masse de l’objet se répartit autour des axes. Les axes en question sont
appelés axes principaux de l’objet. Pour certains objets, les axes principaux sont évidents. Par
exemple, les axes principaux d’un parallélépipède sont les axes perpendiculaires aux trois faces et
passant par le centre de masse. Pour un cylindre, l’axe du cylindre est l’un des axes principaux,
alors que les deux autres sont perpendiculaires au premier et perpendiculaires entre eux. Pour une
sphère, tout ensemble de trois axes mutuellement perpendiculaires passant par le centre de masse
sont des axes principaux.
Énergie de rotation
Nous avons vu que la relation entre J et ω est J = Iω où I est la matrice d’inertie. On peut donc
écrire l’énergie cinétique de rotation (9.50) comme
K rot. = 1 2 ωIω = 1 2 JI−1 J (9.82)
(les expressions ci-haut sont la multiplication d’un vecteur rangée par une matrice et puis par un
vecteur-colonne). Dans le système des axes principaux liés à l’objet, la matrice I est diagonale et
l’énergie cinétique de rotation prend la forme
K rot. = J 2 1
2I 1
+ J 2 2
2I 2
+ J 2 3
2I 3
(9.83)
où les coefficients I 1 , I 2 et I 3 sont les moments d’inertie de l’objet par rapport aux trois axes
principaux. Notez cependant que les composantes (J 1 , J 2 , J 3 ) du moment cinétique dans ce système
d’axes ne sont en générale pas constantes, car ces axes sont en général en mouvement.
En fonction des composantes (J 1 , J 2 , J 3 ) du moment cinétique dans le repère des axes principaux,
la conservation de l’énergie cinétique de rotation décrit un ellipsoïde, appelé ellipsoïde de Binet,
spécifié par l’Éq. (9.83). D’autre part, la conservation du moment cinétique dans l’espace se traduit